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[编辑]矩阵范数的特性

以下 K 代表实数或复数域。现在考虑 K^{m \times n} 空间，亦即所有 m 行与 n 列的矩阵。
K^{m \times n} 上的矩阵范数满足向量范数的所有特性，即若 \|A\| 是矩阵 A 的范数，那么：
  • \|A\|\ge 0，且等号成立当且仅当 A = 0 。
  • \|\alpha A\|=|\alpha| \|A\|，对于所有 α 属于 K 和所有矩阵 A 属于 K^{m \times n} 成立。
  • \|A+B\| \le \|A\|+\|B\|，对于所有矩阵 A 和 B 属于 K^{m \times n}.
此外，一些定义在n乘n矩阵上的矩阵范数（但并非所有这类的范数）满足一个或多个以下与“矩阵比纯粹一个向量有更多东西的事实”有关的条件：
一个满足第一个附加特性的矩阵范数被称为服从乘法范数（sub-multiplicative norm）。附上矩阵范数并包含所有 n×n 矩阵的集合，是巴拿赫代数的一个例子。
（在一些书上，术语“矩阵范数”只指服从乘法范数。）

[编辑]诱导范数

如果 Km 及 Kn 上向量范数已知（K 是实数或复数域），可在 m \times n 矩阵空间上按照下述原则定义相应的“诱导范数”或算子范数：
\begin{align} \|A\| &= \max\{\|Ax\| <wbr>: x\in K^n \mbox{ with }\|x\|\le 1\} \\ &= \max\{\|Ax\| <wbr>: x\in K^n \mbox{ with }\|x\| = 1\} \\ &= \max\left\{\frac{\|Ax\|}{\|x\|} <wbr>: x\in K^n \mbox{ with }xe 0\right\}. \end{align}
若 m = n 且在定义域和值域上使用相同的范数，则诱导的算子范数是服从乘矩阵范数。
举例说明, 与向量的 p-范数对应的算子范数是：
\left \| A \right \| _p = \max \limits _{x e 0} \frac{\left \| A x\right \| _p}{\left \| x\right \| _p}.
在 p = 1 且 p=\infty 的情况下，其范数可以以下方式计算：
\begin{align} & \left \| A \right \| _1 = \max \limits _{1 \leq j \leq n} \sum _{i=1} ^m | a_{ij} | \\ & \left \| A \right \| _\infty = \max \limits _{1 \leq i \leq m} \sum _{j=1} ^n | a_{ij} | . \end{align}
这些与矩阵的 Schatten p-范数不同, 也可以用 \left \| A \right \| _p . 来表示。
若满足 p = 2（欧几里德范数）且 m = n（方阵）此两特殊情况时，诱导的矩阵范数就是“谱范数”。矩阵 A 的谱范数是 A 最大的奇异值或半正定矩阵 A*A 的最大特征值的平方根：
\left \| A \right \| _2=\sqrt{\lambda_{\text{max}}(A^* A)}
其中 A* 代表 A 的共轭转置 。
任何矩阵范数满足此不等式
\left \| A \right \| \ge \rho(A),
其中 ρ(A

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