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Witten 的数学贡献（不只是“弦论”）

2012-05-02 11:27阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1624371152

（一）正质量猜想
在广义相对论中，正质量猜测断言：在合适的条件下，一个引力体系中的全部能量之和是正的，并且总能量为零当且仅当该重力系是平坦Minkowski空间。这个断言可以推出Minkowski空间是稳定基态的。
 这个猜想曾受到过很大的关注，人们在许多不同的特殊条件下加以了证明。最后是丘成桐在1979年给出了一个完全的证明。这个证明使用的主要工具是非线性PDE（偏微分方程）和极小曲面理论，在当时是一个了不起的成就。这也是丘成桐获Fields奖的主要成就之一。
但是Witten在1981年给出了一个非常简单的用线性
PDE的证明。在这篇论文中他讨论了旋量(spinors)和 Dirac算子。他的证明源于物理中经典的超引力(supergravity)的思想。在当时引起了许多数学家和物理学家在不同方向上的更深入的研究。这篇论文现在已经成为经典。
请参考E.Witten: A new proof of the positive energy theorem. Comm. Math. Phys. 80(1981)381
（二）Morse 理论
即临界点理论。

E.Witten的经典论文Supersymmetry and Morse theory. J. Diff. Geom. 17(1984)661，这篇论文被认为是几何学家了解现代量子场论的必读文献。其中包括了一个经典Morse不等式的新证明，精彩之处就在于把临界点理论和同调伦联系起来了。主要思路是先用Hodge调和形式定义同调，再通过对量子力学的驻相逼近引入临界点。
Witten用Hodge-de Rham理论来解释超对称量子力学。继而推广到无穷维流形的Hodge-de Rham 理论。
Witten以后的工作很大程度上都巧妙的，极富创造力的采用了这篇论文的一些观点。同样对这篇论文的深入研究，也在许多其它数学领域创造出了新的成果。比如复分析以及数论。
（三）Atiyah-Singer指标定理
指标定理是微分几何中非常重要的问题。最早由英国数学家Atiyah和美国数学家Singer提出。后人给出了许多不同的证明。这方面的研究现在仍是热点。有人认为指标定理的研究是分析与拓扑完美结合的典范。
Witten的一个很有名的观点就是把紧流形上的Dirac算子的指标定理解释成loop空间上的形式正则泛函积分。这里很大程度上受到了他的那篇有关Morse理论的论文的影响。
有许多数学家继承了他的观点，得到了许多好的结论，像Alvarez-Gaume, Getzler, Bismut等。（中国南开数学所的张伟平教授在指标定理研究方面是具有世界影响的。他的硕士导师虞言林教授现在苏州大学也继续着指标定理研究，他写过一本指标定理的书，在上海科技文献出版社的那套现代数学丛书里。）
（四）Knots扭结理论
E.Witten: Quantum field theory and the Jones polynomial. Comm. Math. Phys. 121(1989)351
在上面这篇论文中，Witten提出扭结的Jones不变量可以用3维规范场理论中的Feynman积分来解释。其中他创造性的采用了Chern- Simons函数。这是第一次用内蕴的方法来解释著名的Jones不变量。
Witten还把3维球面扭结的Jones不变量推广到任意的3维流形上去。

 英国著名数学家和理论物理学家M.Atiyah这样评价Witten ：“他对现代数学做出了深刻的贡献，在他的手里，古老的物理学又一次为数学提供了灵感。当然物理的直觉并不是立刻就能得到严格的数学证明，但他往往能够为数学家指出一个正确的方向，技巧上严格的证明一定能够找到。”
 总结一下，E.Witten的高明就在于他悟出并练就了一套数学物理领域的“独孤九剑”，因此在这两个世间最最基础的学科中游走于画境。或许这种人是上帝特地设计并定期安排来到人间的特殊使者。君不见，下面的事实难道不是“独孤九剑”的精髓吗？ ——————
1.Witten一眼就看穿了所谓的Atiyah-Singer指标定理其实是道路空间上的一个简单积分公式; 2.Witten一眼就看穿了Morse理论有更精细的结构,和谱理论有联系;
3.Witten一眼就看穿了老丘的正质量定理可用Spinor来简单证明;
4.Witten一眼就看穿了Kac-Moody代数的特征都是模形式;
5.Witten一眼就看穿了Donaldson理论和Floer有关;
6.Witten一眼就看穿了Jones的不变量其实是更广泛的3维不变量;
7.Witten一眼就看穿了曲线模空间上的相交数来自于KDV方程的解;
8.Witten一眼就看穿了所谓的Donaldson理论其实是trivial的;窗体底端

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