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随谈“1=0.999…”问题

2015-04-06 17:14阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1628116302

3月29日，本人在《有没错？》中抄录了一道数学题：

如下推导有没错？
设x＝0.999…
10x＝10×0.999…＝9.999…
10x－x＝9.999…－0.999…
9x＝
9
x＝1

现在，试作如下推理解答：
x＝0.9，10x＝9，10x－x＝8.1
x＝0.99，10x＝9.9，10x－x＝8.91
x＝0.999，10x＝9.99，10x－x＝8.991
x＝0.9999，10x＝9.999，10x－x＝8.9991
……
依次无限类推，可得：
x＝0.999…，10x＝9.999…,10x－x＝8.999…9991
于是，
10x－x＝9x＝8.999…9991
x＝8.999…9991／9＝0.999…
最终，推理结果与原题目的前提完全相符，丝毫没有差异。同时，通过上述推理，即可发现，原题在推导中，由于x＝0.999…乘以10之后，10x＝9.999…的小数位数比原来减少了一位（尽管依然是无限的），所以，由10x－x＝9.999…－0.999…这一步而得到9x＝9，出错了。正确的结果如上推理所说，应该是8.999…9991。关于这点，后面还有进一步的解释。
这样，上面的推理“圆满地”纠正了原题之谬。

据说，原题目提到的“1＝0.999…”是个颇为有趣的问题，它困扰人们长达几个世纪，至今仍然有人为此争论不休。你看，我们这会儿不也正在“争论”吗？不过，我想，这个问题数学界一定早已解决了！不然，在如今公布的世界数学未解难题之中，怎么没有这个问题呢？我们可能都在乱谈吧？那现在就不妨再来随谈一下。
一、无限循环小数是无穷数列
0.999…其实是一个无穷等比数列，其通式是：
x＝0.999…＝9×0.1＋9×0.1^2＋9×0.1^3＋…＋9×0.1^（n－1）＋9×0.1^n （1）
上式中的n是任意大的正整数，下同。
于是，
10x＝9＋9×0.1＋9×0.1^2＋9×0.1^3＋…＋9×0.1^（n－1） （2）
由上可见，（1）的小数位数是n位，扩大10倍（乘以10）之后的（2），其小数位数是n－1位，比（1）永远少一位，尽管（1）和（2）的小数位数仍然都是无限的。原题推导正是在这一环节上发生了错误，它把0.999…扩大10倍之后的9.999…的小数位数想当然地认为仍然与原来一样，以致发生运算错误：10×0.999…－0.999…＝9.999…－0.999＝9。正确的结果应该是8.999…9991。
我们继续看下去：
（2）－（1）：
10x－x＝9－9×0.1^n
9x＝9×（1－0.1^n）
x＝1－0.1^n
即0.999…＝1－0.1^n
上面的0.1^n是个“极限为0的无穷小变量”（简称“无穷小”），而无穷小是一个比任何数都小但是不等于0的量，这个无穷小也是一个趋近于0的数列，它也就不是一个确定性的数，0是它的极限。由此可知，0.1^n始终存在于上式中；当n趋于无穷大时，则0.1^n趋于0，于是得知，这个数列无限趋近于1，即1是0.999…的极限，但这并不意味着0.999…本身就是1。
须要特别强调的是，无穷小可

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