广义积分

2010-07-21 12:29阅读：

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在一些实际问题中，我们常遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数在积分区间上具有无穷间断点的积分，它们已不属于前面我们所学习的定积分了。为此我们对定积分加以推广，也就是———广义积分。
一：积分区间为无穷区间的广义积分
设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a.如果极限

存在，
则此极限叫做函数f(x)在无穷区间[a,+∞）上的广义积分，
记作：

，
即：

=

.
此时也就是说广义积分

收敛。如果上述即先不存在，则说广义积分

发散，此时虽然用同样的记号，但它已不表示数值了。
类似地，设函数f(x)在区间(-∞，b]上连续，取a<b.如果极限

存在，
则此极限叫做函数f(x)在无穷区间(-∞，b]上的广义积分，
记作：

，
即：

=

.
此时也就是说广义积分

收敛。如果上述极限不存在，就说广义积分

发散。
如果广义积分

和

都收敛，则称上述两广义积分之和为函数f(x)在无穷区间(-∞,+∞)上的广义积分，
记作：

，
即：

=

上述广义积分统称积分区间为无穷的广义积分。
例题：计算广义积分

解答：

广义积分

二：积分区间有无穷间断点的广义积分
设函数f(x)在(a,b]上连续，而

.取ε>0，如果极限

存在，则极限叫做函数f(x)在(a,b]上的广义积分，
仍然记作：

.
即：

=

，
这时也说广义积分

收敛.如果上述极限不存在，就说广义积分

发散。
类似地，设f(x)在[a,b)上连续，而

.取ε>0，如果极限

存在，
则定义

=

；
否则就说广义积分

发散。
又，设f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续，而

.如果两个广义积分

和

都收敛，
则定义：

=

+

.
否则就说广义积分

发散。
例题：计算广义积分

(a>0)
解答：因为

，所以x=a为被积函数的无穷间断点，于是我们有上面所学得公式可得：

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