铅球的投掷
2009-09-02 10:36阅读：
问题的提出：
众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m
的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45
o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。教练员、运动员围绕着从决定成绩的一些重要因素出发，改革技术，以提高运动成绩。
参考数据资料如下：
表1
李素梅与斯卢皮亚内克铅球投掷成绩
姓名
|
出手速度v(m/s)
|
出手高度h(m)
|
出手角度 (o)
|
实测成绩
|
李梅素
|
13.75
|
1.90
|
37.60
|
20.95
|
李梅素
|
13.52
|
2.00
|
38.69
|
20.30
|
斯卢皮亚内克
|
13.77
|
2.06
|
40.00
|
21.41
|
表2
我国优秀运动员的铅球投掷数据
姓名
|
成绩s(m)
|
出手速度v(m/s)
|
出手角度
|
出手高度h(m)
|
李梅素
|
19.40
|
13.16
|
40.27
|
2.02
|
李梅素
|
20.30
|
13.51
|
38.69
|
2.00
|
黄志红
|
20.76
|
13.58
|
37.75
|
2.02
|
隋新梅
|
21.66
|
13.95
|
39.00
|
2.04
|
李梅素
|
21.76
|
14.08
|
35.13
|
1.95
|
条件的假设：
投掷的水平距离主要决定于以下几个因素：
出手时铅球的速度（
v）；
出手时的投掷角度(
θ)；
铅球出手的瞬间距离地面的垂直高度（
H）；
其它因素在理想的情况下可以忽略不计。
则：
v — 初速度
θ — 仰角
H — 身高与臂长的和
基本模型分析：
1. 若忽略身高的影响，即
H = 0，则公式为：
S水平 = vcosθ = ,
则当
=
时，
S水平
取得最大值。与高中代数教材中的炮弹发射问题一致。
2. 若
v，
θ为定值，
S 随着
H 的变化如何改变？
将此公式输入TI图形计算器中，画出
S –
H
图象。（图略）
根据图象可以知道
S 随着
H 的增大而增大。
3. 若
H，
θ为定值，
S 随着
v 的变化如何改变？
S -
V 图象为
根据图象可以知道
S 随着
v 的增大而增大。
4. 若
H ，
v 为定值，
S 随着
θ 的变化如何改变？
图象为：
5. 在
v，
H， 中那一个对
S 的影响最大？
由2，3，4中的讨论可以知道，在
S –
V 图象中，
S
的变化率最大。
故
S 受
v
的影响最大。这一点与实际调查的结果一致。在运动员改进技术的过程中，都围绕着如何增大出手速度，创造了背向滑步推和旋转推两种方法，以获得最大的投掷距离。
在学生动手的过程中，问题得到了解决。
对于其他相关学科的知识进行探究：
数学与其他学科，与自然界和人类的生活也是紧密相关的。加强数学应用，促进数学建模在中学其他学科的开展，是当前数学教育改革中的一个热门的话题。在数学课外活动中，以问题为载体，结合其他学科知识解决实际问题，既培养了学生应用数学的意识，同时也通过数学建模的实践，培养了学生的创新意识和实践能力。
基于Excel的多变量动态控制演示
苏州市工业园区星海学校(215021)
叶鹏松
摘要：以“最佳投掷角度分析”为例，介绍了用Excel动态地对多变量问题进行数值控制演示的方法。
关键词：Excel; 多变量；投掷距离；
中图分类号：O313
文献标识码：A
许多看似简单的物理问题，限于数值处理工具的缺乏，尤其是多变量控制的动态效果难于实现，讨论时常常会被转化为抽象的分析，但是过于依赖复杂抽象的数学分析，往往冲淡了学生学习物理的兴趣。
用Excel软件强大的数据处理功能和函数作图功能，能够动态演示多变量物理问题，这种直观、生动的数值方法很容易为学生所接受和掌握。随着信息应用技术的不断普及和提高，它无疑为广大学生学习物理，探究物理，学好物理提供了新的手段和保障。
在本人的教学实践中，收到了很好的教学效果。下面以“最佳投掷角度分析”为例说明Excel用于多变量动态控制演示的方法。
1提出问题
对图1
所示的斜抛运动,若不计空气阻力,
则抛体的运动方程为：
整理可得抛体的射程： ，易知，当 时, 有最大值。
那么若用45
0角推铅球, 是否能够推得最远呢? 教学中时常有学生会提出这样的问题, 为了回答这一问题,
可首先进行以下的理论分析.
2理论分析
如图2所示
,若不计空气阻力,铅球的运动方程可表示为：
整理可得铅球全程的飞行时间为：
则铅球的投掷距离为：
显然,此时问题要比前一种情形复杂许多,
取何值时 有最大值,不仅与初速度大小 有关,而且还与初始高度
有关.为找出铅球的最佳投掷角度,常需要对上式进行极值分析，一般很难适应普通中学生的学习特点和学习需要.
笔者在教学中,借助Excel软件的函数作图功能以及调节按钮对变量数值变化的控制功能,对这一问题进行了仿真处理.设计的课件不仅可以真实、动态地显示出投掷距离和投掷高度随着
、 和 的改变而变化，更为重要的是,还可以在动态的效果下，让学生通过调节投掷角 ,显示出相应于选定的 和
下的最大投掷距离及其对应的最佳投掷角.
3 Excel仿真
1）
启动Excel 工作表,为 、 及 三个独立变量建立调节按钮
打开“视图”菜单,选择“工具栏”的“窗体”选项,在弹出的“窗体”工具栏中选择“微调项”
,在工作表内依次为每个独立变量绘制调节按钮；然后在所绘制的按钮上点右键,在弹出的快捷菜单中选中“设置控件格式”选项,在弹出的“设置控件格式”的窗口中,选择“控制”选项卡,为按钮设置所控变量的数值变化范围和链接单元格.
如果需要,还可再为每个变量建立微调按钮,以便能够对变量数值进行微调.如图 3所示,左侧为对应变量的粗调按钮,右侧为其微调按钮.
2）
建立铅球飞行参数数据表
·确定铅球的飞行总时间T.
根据飞行时间公式 及每个变量设置的初始值,用Excel的表达式计算功能,计算出铅球的飞行总时间T,如图4所示.
·确定不同时刻铅球的空间坐标.
将飞行时间分成若干等份(本软件取20等份),借助 及
,分别在A、B两列算出各等份时刻铅球的空间位置坐标,完成的铅球飞行数据表.如图5所示.
3）绘制铅球飞行图
选中飞行数据表(A1:B22)区域,点击作图按钮 ,
打开图表向导，选择图表类型中的“散点图”,接着按步骤为图表设置标题,及坐标轴名称.完成后的图表如图6所示.
4)软件的调节与使用
点击各独立变量的调节按钮,
不仅各变量的数值会立即改变,而且数据表格中的各个
飞行参数及对应的铅球飞行轨迹图线,也都会动态地随之改变.这一瞬时反馈功能可使学生非常容易、非常直观地看到各组变量的变化对铅球投掷距离与投掷高度的影响，从而确定铅球的最佳投掷角。
如果认为直接从图表的变化来确定最大投掷距离或最佳投掷角不够准确，我们还可以调用Excel的MAX(,)函数，对铅球飞行参数表中的数值进行筛选，精确确定各种情形下的最大投掷距离和最佳投掷角。本课件直接将这一筛选结果放在飞行曲线图下的单元格内，并与图线同步变化，因而非常清晰直观。整个软件界面如图7所示.
5）理论检验
按动数值调节按钮,可对铅球的初速度 和初速高度 进行任意设置，不妨将它们设置分别为10.8m/s和1.8m,然后上下调节投掷角
的粗调与微调按钮,根据函数图象和表格数值的变化,可很快找出这一初始条件下,铅球的最大投掷距离及其对应的最佳投掷角分别为13.58m和41.2
0;而当投掷角
=45
0时,铅球的投掷距离则要略小一些，约为13.49m.那么Excel这一仿真计算的结果与理论分析是否一致呢?
根据文献
[1]对投掷距离公式的极值分析,在 和 一定时, 投掷角 时,铅球的投掷距离有最大值
.代入 、 ,可得 =41.2
0时,铅球有最大投掷距离为 13.58m.
图7
这与Excel仿真课件得到的结论完全吻合.改用其他初始值反复验证,结果始终一致。这充分表明这一仿真课件是科学的、可靠的.
另外，该课件同样可适用于其他类型的抛体运动研究，只需对各个变量的取值或变化范围重新设定一下即可.
(6)实用性拓展
本文介绍的这一课件,不仅可以探究抛体的射程、射高、飞行时间等问题,更为重要的是,它同时提供了一种简洁有效的多变量动态控制演示方法。
4 建模体会
在我们的日常生活当中，许多看似简单的物理问题,往往在讨论起来会被转化为复杂抽象的数学问题,对于数学建模的能力，要求也是很高的。这次试验充分发挥了我们的动手能力，初步了解了建模的思想，对于我们以后的具体问题分析，有着很重要的作用。
参考文献
1．李正红、李德新，“铅球的最佳投掷角问题研究”，J《中学物理》2003. 3
2．贾银锁，“关于斜抛运动的最大射程”，J《中学物理》2003. 4
