13、圆对数、自然对数、常用对数的统一性
2013-04-18 09:22阅读：
探索自由天空博客第十三部分：数论的圆对数应用
13、圆对数、自然对数、常用对数的统一性
考察“常用对数ax”，“自然对数ex”
与“圆对数（ox）”，相互间有怎样的联系？
早在1614年纳彼尔在《奇妙对数表的构建》写成在二项式中，选择了类似牛顿二项式的
[1+（1/n）]10.7，建立了Y = Naplogx,称纳彼尔对数，即：
Y = ax, 或：x = log y；
也就是说，任意一个数值（函数）都可以转化为特定的一个数值（a =10）的自乘。
1727年年轻的欧拉也引用牛顿推导Tn = [（1+（1/n）]
n的展开式，当n趋于无穷时，这个级数会收敛于同一个极限值。由二项定理，得：Tn
= [（1+（1/n）] n的展开式，证明，即：E =
lin[1+(1/n)]n = 1+1/（1!）+1/（2！）+1/（3！）+…1/（n!）=
2.718281828…；
十年后，1737年欧拉证明了e是无理数。1748年欧拉发现了著名的欧拉公式（eiπ+1
=0）后又推导有（eπ+
eiπ）/ 2 =
1。直到1791年欧拉去世后的第8年，才由他人建立了以e为底的对数式，即：
Y = ex，或：x = ln y；
同时证明，ex = ln
(1+Xn)n,上述二个式子为互逆关系；
1840年法国数学家刘维尔证明e不是任何二次方的解。e对数让人接受了。也就是说任意一个数值
（函数）都可以转化为特定的一个数值（e= 2.718281828…）的自乘。
1982年本博客作者。开始发现圆对数（ox）（保留有1982年5月24日退稿件，当时对圆对数概念称“系数”。其中引用牛顿二项定理Tn
= [（1+（1/n）]
n展开中的圆对数展开式。以后不断地拓展。建立了以圆对数为底的对数式，称“相对性结构—圆对数”。即：
Y = ox =（1-η2）x， o
=（1-η2）， x = ck= sk， k = -1,0,+1；
其中：c表示等差函数，s表示等比函数，k表示幂（指数）性质；
Y = ox 圆对数，Y = ex自然对数，Y =
ax常用对数，三种对数尽管表现不一，都是从牛顿二项式展开中推导出来的。都有大致相同的计算规则。
（ax）—（ex）：的计算规则特征：固定的底数，幂次自变量与底数没有直接关系；
（ox）：圆对数的计算规则特征：相对可变的底数，幂次自变量与底数的结构因子同步变化。
（ox）——（ax）——（ex）：同祖同宗具统一性，可相互转化，有：（1-ηe2）x
——（1-ηa2）x
——（1-ηo2）x。但圆对数（ox）的计算方法却比传统应用的（ex
，ax）更为简便、广泛。圆对数和平地包容了常用对数与自然对数的组合计算规则，如：
（1）、（1-ηe2）x
= ex；
（1-ηe2）
= e， ηe =
[1-（1/e）] 1/2
；
———（13.1）
（1-ηe2）x
=
[（1-ηe2）+x
+（1-ηe2）-x
] / 2
=（ex + eix）/
2
———（13.2）
（2）、（1-ηa2）x
= 10 x；
（1-ηa2）=10，
η10
=[1-（1/10）] 1/2 ；
———（13.3）
（3）、（1-ηo2）x
= o x；
（1-ηo2）=
0,1 ；η0
=[1-（1/10）] 1/2
；
———（13.4）
（1-ηo2）x
=
[（1-ηo2）+x
+（1-ηo2）-x
] / 2
=（o+x+ o
-x）/ 2；
———（13.5）
讨论：（ax）—（ex）中，（a,e）分别以固定底值（e =
2.718281828, a =
10）的自乘，在应对任意数（函数）中出现的幂指数（x）大多成为复杂的指数函数（exp），表现为ηe =
[1-（1/e）] 1/2 及η10 =[1-（1/10）]
1/2为定值，底数因子（模）（ηe
，η10）与幂次（x）不能同步。如在量子理论中指数函数（exp）有一套计算方法。广义上来说，这种指数函数因底数因子与幂次不能协调，带来诸多不便，最好的指数函数（exp
=2.3…），达不到理想的“好算法”。
（ox）中，以相对可变的圆函数（1-η2）为底的自乘，底数（模）（η）与幂次（x）紧密地同步变化，可以将指数函数（exp）变量与结构因子（0≤η≤1）变量同一处理。特别，在圆函数为底的相对变化中，应对任意数（函数）中，指数函数最终结果是（0≤∑ηci（或∑ηis）≤1）成为简单函数的周期函数（0≤（1-η02）±z
=（1-η02）±1≤1），使指数函数计算简化（exp
=1）。计算时间达到最小，达到理想的“好算法”。
圆函数展开及证明中引用并拓展牛顿二项式转化为相对性形式。叙述如下：
【命题13.1】对牛顿二项式（1-X2）= 1+X+
X2+ X3+ X4+
X5+… =（1-
X2）+1 +（1-
X2）-1
作相对性展开。其中X为任意未知量， X =
∑（1/n）Xi （取遍所有未知量的算术平均值）。
设：ηi =（X0
-Xi）/
X0，0≤η≤1，成为周期函数，代入上述代数式中（X）；
得：
（1-η2）=
1-η+η2-η3+η4+η5+
…
=
(η0+η2+η4+η6+
…+η2n）-
(η1+η3+η5+η7+η2n-1)
=（1-η2）-n+
（1-η2）+n
=（1-η2）-1+
（1-η2）+1
；
———（13.6）
其中：（1-η2）-1=
(η2+η4+η6+
…+η2n） 为偶数列级数
（1-η2）+1=
(η1+η3+η5+
…+η2n-1）为奇数列级数
及： （1-η2） =
∑（1-ηi2）n
=（1-ηa2）n+（1-ηb2）n-1+…+（1-ηm2）1；（13.7）
及： （1-η2） =
∏（1-ηj2）n
=（1-ηa2）n·（1-ηb2）n-1·…·（1-ηm2）1；（13.8）
式中： η = ∑ηi
；或 η =
∑ηis ；
（1-η2）-1
与（1-η2）+1互逆。（证毕）；
建立
“（1-η2）—（η）”及“（1-η2）—（ηs）”对应关系及其独特的计算规则。（“相对性结构—圆函数”计算规则另见本博客附录一）（2013.4.18）
