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多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的

2017-05-24 10:39阅读：

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多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的
雷 明
（二○一七年五月二十二日）

对于多面体（平面图）欧拉公式，在文献和教课书中，有各种各样的证明方法，对于多阶曲面上图的欧拉公式，在沙特朗的《图论导引》一书中也有用数学归纳法进行的证明。这给人们一个印象是，欧拉公式好象是一个从经验中总接出来的公式，与四色猜想一样，也必须通过证明才能确定其是否正确，才可以进行应用。实际上这些证明同用着色的方法对平面图的不可免构形的所谓“证明”一样，都是在对命题进行验证而已，其根本的原理还是不能真正被揭开的。真正的证明应是进行数学上的严密推导后，从而得出的命题。平面上或多阶曲面上图的欧拉公式也是可以经过严密的数学推导而得到的。
1、亏格为0的平面图的欧拉公式的推导：
亏格为0的、不同顶点数v（v≥3）的平面图中的边数e和面数f：如下表一。
（表一）
序号
 顶点数
 v
 3
 4
 5
 6
 v≥3
1
 边 数
 e
 3
 6
 9
 12
 e＝3v－6
2
 面 数
 f
 2
 4
 6
 8
 f＝2v－4

根据表一，画顶点分别是3、4、5、6的极大图平面如图1。其中图1，a和图1，b又是完全图。从表一中可以看出，顶点数从3开始，每增加一个顶点，图的边数增加3条，面数增加2个。边数与面数分别和顶点数的关系是e＝3v－6和f＝2v－4。
用e＝3v－6减去f＝2v－4得：
e－f＝v－2
变形整理得
v＋f＝e＋2 （1）
公式（1）就是平面图的欧拉公式。用同样的办法，也可以推导出其他亏格条件下图的欧拉公式。
多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的

2、亏格为1的非平面图的欧拉公式的推导：
亏格为1的、不同顶点数v（v≥5）的非平面图中的边数e和面数f：如下表二。
（表二）
序号
 顶点数
 v
 5
 6
 7
 8
 v≥5
1
 边 数
 e
 15
 18
 21
 24
 e＝3v
2
 面 数
 f
 10
 12
 14
 16
 f＝2v

2、1 根据表二，画环面（轮胎面）上的顶点数是5的极大图的展开图如图2。图2，a是K5（K5是完全图而非极大图）图的展开表示方法，有10条边，5个面；但图中有一个面，是由顶点2—3—5—2—4—5—3—4—2构成的八边形面（如图2，b），所以K5图不是极大图；这个八边形面还可以分成6个三边形面，增加了5条边（也如图2，b），所增加的边分别是顶点2到5，顶点2到4，顶点2到3，顶点5到4和顶点3到4这五条边的一条平行边（如图2，c）。这样就使图中的边数增加到15条，面数增加到10个，使图变成了一个极大图。
多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的
多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的



2、2 再根据表二，画环面（轮胎面）上的顶点数是6的极大图的展开图如图3。图3，a是K6（K6是完全图而非极大图）图的展开表示方法，有15条边，10个面；但图中有一个面，是由顶点2—3—6—4—3—5—2构成的六边形面（如图3，b），所以K6图不是极大图；这个六边形面还可以分成4个三边形面，增加了3条边（也如图3，b），所增加的边分别是顶点2到3，顶点2到6和顶点3到6这三条边的一条平行边（如图3，c）。这样就使图中的边数增加到18条，面数增加到12个，使图也变成了一个极大图。
2、3 图4是根据表二，画在环面（轮胎面）上的顶点数是7的极大图的展形图。其中a和b分别是两个K7（K7图既是完全图又是极大图，边数最多是7×6÷2＝21，图中没有平行边）图的不同展开表示方法，有21条边，14个面；再在图中增加顶点时，每增加一个顶点，也只能增加三条边和两个面，才能保证图的亏格不变。
多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的

2、4 根据以上（表二）和图2、图3和图4可以看出，亏格为1的极大图中每增加一个顶点，增加三条边和两个面，图的边数与面数和顶点的关系分别是e＝3v和f＝2v，两式相减得：
e－f＝v即v＋f＝e （2）
（2）式与（1）式有明显的差别，需要变形把它们统一起来。
3、亏格为0和1的图的欧拉公式
把亏格为1的非平面图的e＝3v和f＝2v与亏格为0的平面图的e＝3v－6和f＝2v－4都进行变形，并把图的亏格参数n代入其中，使e＝3v－6和f＝2v－4分别变成e＝3v－6（1－n）和f＝2v－4（1－n），当n＝0时, 等于给等式e＝3v－6和 f＝2v－4右边的常数项各乘了一个1，其值不变；使e＝3v和f＝2v也分别变形成e＝3v－6（1－n）和f＝2v－4（1－n），当n＝1时,等于给等式e＝3v和f＝2v的右边各减了一个0，其值仍不变。但这一变化，却使得两种不同亏格的图的边数与面数和顶点数的关系式统一了起来，是有好处的。再用e＝3v－6（1－n）减去f＝2v－4（1－n），得到：
e－f＝v－2（

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