【原创】哥德尔不确定性定理和著名悖论
2014-12-06 06:07阅读：
20世纪20年代，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”；希尔伯特还要求公理体系保持“独立性”（即所有公理都是互相独立的，使公理系统尽可能的简洁）和“无矛盾性”（即相容性，不能从公理系统导出矛盾）。
1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。
所以，悖论是无处不在的。对于无法证明的经典悖论，下面简单罗列一下
1、 谎言者悖论
公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：'所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。'这就是这个著名悖论的来源。
这个悖论最简单的形式是：'我在说谎'，如果他在说谎，那么'我在说谎'就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版：
2、理发师悖论
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：'我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。'有人问他：'你给不给自己理发？'理发师顿时无言以对。
这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。
反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在1902年提出来的，所以又叫'罗素悖论'。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然，这里也存在着一个不可排除的'自指'问题。
3、集合论悖论
'Ｒ是所有不包含自身的集合的集合。'
人们同样会问：'Ｒ包含不包含Ｒ自身？'如果不包含，由Ｒ的定义，Ｒ应属于Ｒ。如果Ｒ包含自身的话，Ｒ又不属于Ｒ。
4、 书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名？
5、 苏格拉底悖论
苏格拉底有一句名言：'我只知道一件事，那就是什么都不知道。'
这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。
6、'第二十二条军规'
这是一条臭名昭著的军规。它规定神经失常的飞行员可以停飞，但同时又规定申请停飞者一定是头脑清醒的。试想，一个神经失常的人不能申请，必须飞行；而头脑清醒者又怎么能证明他是神经失常？这纯粹是一条欺骗性的悖论。
7、全能者悖论
语言绝对化往往伴随着悖论。基督徒相信上帝是全能的，如果有人问如果上帝是全能的，他能不能创造一块他举不起来的石头？'
