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[转载]三角形的三边基本性质、及三边与面积关系

2013-09-16 19:27阅读：

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原文地址：三角形的三边基本性质、及三边与面积关系
原文作者：伴你成长学子园地

1.三角形面积和周长的关系：S=根号(p(p-a)(p-b)(p-c))
a、b、c为三边长，p为周长的一半，当a=b=c时，围成的三角形面积最大。
“周长一定的情况下，正三角形面积最大”

2.三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，即：三角形的任意一边小于其它两边之和，大于其它两边之差。

什么是三角形
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结所组成的封闭图形叫做三角形。
　　平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形。
　　三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
分类
(1)按角度分
　　a.锐角三角形：三个角都小于90度。并不是有一个锐角的三角形，而是三个角都为锐角，比如等边三角形也是锐角三角形。
　　b.直角三角形
（简称Rt 三角形）：
　　⑴直角三角形两个锐角互余；
　　⑵直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
　　⑶在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.；
　　⑷在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°（和⑶相反）；
　　⑸在直角三角形中，两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即a^2＋b^2=c^2（勾股定理）；
　　⑹斜边上的中线是外接圆半径；
　　⑺有一个角是90度的三角形，夹90度的两边称为“直角边”，直角的对边称为“斜边”。 (非直角三角形也称斜三角形，包括锐角三角形、钝角三角形)。
　　c.钝角三角形：有一个角为钝角的三角形 。钝角三角形有两条高在钝角三角形的外面,钝角为大于90°且小于180°；
　　d.正三角形：三个角度数相等，三条边也相等，也称等边三角形。
　　(2)按边长分
　　a.等腰三角形：两条边相等的三角形。又可分为三条边都相等的等腰三角形，即等边三角形，和只有两条边相等的等腰三角形。普通等腰三角形中，两条相等的边称为“腰”，第三边叫做“底边”，腰对应的角（称为底角）也是相等的。
　　b.不等边三角形：三条边均不相等的三角形。
　　(3)特殊三角形
　　退化三角形：面积为零的三角形。（退化三角形按照狭义的三角形定义其实不属于三角形。）
编辑本段解直角三角形
　　在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c. 则有
　　（1）正弦定理
　　a/SinA=b/SinB= c/SinC=2r (外接圆半径为r)
　　（2）余弦定理。
　　a^2=b^2+c^2-2bc*CosA
　　b^2=a^2+c^2-2ac*CosB
　　c^2=a^2+b^2-2ab*CosC
编辑本段性质
　　1.三角形的任何两边的和一定大于第三边，由此亦可证明得三角形的任意两边的差一定小于第三边。
　　2.三角形内角和等于180度
　　3.等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一。
　　4.直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方--勾股定理。直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
　　５.三角形共有六心：

三角形的内心、外心、重心、垂心、欧拉线


　　内心：三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心。
　　性质：到三边距离相等。
　　外心：三条中垂线(垂直平分线的概念：经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
　　垂直平分线的性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段。
　　2.垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等。
　　3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
　　垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。)
的交点，也是三角形外接圆的圆心。
　　性质：到三个顶点距离相等。
　　重心：三条中线的交点。
　　性质：三条中线的三等分点，到顶点距离为到对边中点距离的2倍。
　　垂心：三条高所在直线的交点。
　　性质：此点分每条高线的两部分乘积
　　旁心：三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点
　　性质：到三边的距离相等。
　　界心：经过三角形一顶点的把三角形周长分成1：1的直线与三角形一边的交点。
　　性质：三角形共有3个界心，三个界心分别与其对应的三角形顶点相连而成的三条直线交于一点。
　　欧拉线：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心，依次位于同一直线上，这条直线就叫三角形的欧拉线。
　　6.三角形的外角（三角形内角的一边与其另一边的延长线所组成的角）等于与其不相邻的内角之和。
　　7.一个三角形最少有2个锐角。
　　8.三角形的角平分线:三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线
　　9.等腰三角形中，等腰三角形顶角的平分线平分底边并垂直于底边。
　　10.勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有下面关系那么a²+b²=c²
　　那么这个三角形就一定是直角三角形。
编辑本段为什么具有稳定性
　　任取三角形两条边，则两条边的非公共端点被第三条边连接
　　∵第三条边不可伸缩或弯折
　　∴两端点距离固定
　　∴这两条边的夹角固定
　　∵这两条边是任取的
　　∴三角形三个角都固定，进而将三角形固定
　　∴三角形有稳定性
　　任取n边形(n≥4)两条相邻边，则两条边的非公共端点被不止一条边连接
　　∴两端点距离不固定
　　∴这两边夹角不固定
　　∴n边形(n≥4)每个角都不固定，所以n边形(n≥4)没有稳定性
编辑本段边角之间的关系
　　（1）三角形三内角和等于180°；
　　（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和；
　　（3）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
　　（4）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
　　（5）在同一个三角形内，大边对大角，大角对大边.
　　（6）三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线.
　　（7）三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等.
　　（8）三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等.
　　（9）三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍。
　　（10）三角形的三条高的交点叫做三角形的垂心。
　　（11）三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的1/2。
　　注意：①三角形的内心、重心都在三角形的内部
　　.②钝角三角形垂心、外心在三角形外部。
　　③直角三角形垂心、外心在三角形的边上。（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点。）④锐角三角形垂心、外心在三角形内部。
编辑本段特殊三角形
　　1.相似三角形
　　（1）形状相同但大小不同的两个三角形叫做相似三角形
　　（2）相似三角形性质
　　相似三角形对应边成比例，对应角相等
　　相似三角形对应边的比叫做相似比
　　相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方
　　相似三角形对应线段（角平分线、中线、高）相等
　　（3）相似三角形的判定
　　【1】三边对应成比例则这两个三角形相似
　　【2】两边对应成比例及其夹角相等，则两三角形相似
　　【3】两角对应相等则两三角形相似
　　2.全等三角形
　　（1）能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
　　（2）全等三角形的性质。
　　全等三角形对应角（边）相等。
　　全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高）相等、周长相等、面积相等。
　　（3）全等三角形的判定
　　① SAS ②ASA ③AAS ④SSS ⑤HL (RT三角形)
　　3.等腰三角形
　　等腰三角形的性质：
　　（1）两底角相等；
　　（2）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
　　等腰三角形的判定：
　　（1）等角对等边；
　　（2）两底角相等；
　　4.等边三角形
　　等边三角形的性质：
　　（1）顶角的角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合；
　　（2）等边三角形的各角都相等，并且都等于60°。
　　等边三角形的判定：
　　（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；
　　（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
编辑本段面积公式
　　(1)S△=1/2*ah（a是三角形的底，h是底所对应的高）
　　(2)S△=1/2*ac*sinB＝1/2*bc*sinA＝1/2*ab*sinC（三个角为∠A∠B∠C，对边分别为a,b,c，参见三角函数）
　　(3)S△=√［s*（s-a）*（s-b）*（s-c）］ 【s=1/2(a+b+c)】
　　(4)S△=abc/（4R）【R是外接圆半径】
　　(5)S△=1/2*(a+b+c)*r 【r是内切圆半径】
　　(6)........... | a b 1 |
　　S△=1/2 * | c d 1 |
　　................| e f 1 |
　　【.| a b 1 |
　　....| c d 1 | 为三阶行列式,此三角形ABC在平面直角坐标系内A(a,b),B(c,d), C(e,f),这里ABC
　　....| e f 1 |
　　选区取最好按逆时针顺序从右上角开始取，因为这样取得出的结果一般都为正值，如果不按这个规则取，可能会得到负值，但不要紧，只要取绝对值就可以了，不会影响三角形面积的大小！】
编辑本段生活中的三角形物品
　　雨伞、帽子、彩旗、灯罩、风帆、小亭子、雪山、楼顶、切成三角形的西瓜、火炬冰淇淋、热带鱼的边缘线、蝴蝶翅膀、火箭、竹笋、宝塔、金字塔、三角内裤、机器上用的三角铁、某些路标、长江三角洲、斜拉桥等。
　　三角形全等的条件 注意:只有三个角相等无法推出两个三角形全等
　　（1）三边对应相等的两个三角形相等，简写为“SSS”。
　　（2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA”。
　　（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“AAS”。
　　（4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“SAS”。
　　（5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”。
　　全等三角形的性质
　　全等三角形的对应角相等，对应边也相等。
编辑本段中的线段
　　中线：顶点与对边中点的连线，平分三角形。
　　高：顶点到对边垂足的连线。
　　角平分线：顶点到两边距离相等的点所构成的直线。
　　中位线：任意两边中点的连线。

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