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二、复合命题与联结词 三、复合命题真假值

2010-03-10 14:23阅读：

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二、复合命题与联结词

各种论述和推理中，出现的命题多数比例1.1中的命题更加复杂。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 例1.2 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值是有理数是不对的； 2是偶素数； 2或4是素数； 如果2是素数，则3也是素数
； 2是素数当且仅当3也是素数。 全是命题。
上述命题都是通过诸如“或”，“如果……，则……”等连词联结而成，这样命题，称为复合命题。相对地，构成复合命题的命题称为简单命题。
数理逻辑中，通常通过下列“联结词”来构成复合命题。
方式一： 例1.2中“ 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值是有理数是不对的”是“ 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值是有理数”的否定。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 定义1.1 设p为命题，复合命题“非p”(或“p的否定”)称为p的否定式,记作┐p，符号┐称作否定联结词。并规定┐p为真当且仅当p为假。
方式二：例1.2中“2是偶素数”是“2是偶数”且“2是素数”的复合。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 定义1.2 设p,q为二命题，复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q的合取式，记作p∧q，∧称作合取联结词。并规定p∧q为真当且仅当p与q同时为真。
问题：“既……又……”、“不但……而且……”、“虽然……但是……”、“一面……一面……”等联结而成地复合命题是否仍为合取式？还有哪些“合取词”？

方式三：例1.2中“2或4是素数”为“2是素数”与“4是素数”通过“或”复合而成。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 定义1.3 设p，q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q的析取式，记作p∨q，∨称作析取联结词。并规定p∨q为假当且仅当p与q同时为假。
注意：按定义1.3在析取式p∨q中，若p，q都为真，则p∨q为真。 “或”还有另外一种用法：当p，q都为真时，析取起来为假。前者称为相容或，后者称为排斥或(排异或)。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 例1.3 将下列命题符号化。
(1) 张晓静爱唱歌或爱听音乐。
(2) 张晓静是江西人或安徽人。
(3) 张晓静只能挑选202或203房间。
解 在解题时，先将原子命题符号化。
(1) p：张晓静爱唱歌。
q：张晓静爱听音乐。
显然(1)中“或”为相容或，即p与q可以同时为真，符号化为p∨q.
(2) r：张晓静是江西人。
s：张晓静是安徽人。
易知，(2)中“或”应为排斥或，但r与s不能同时为真，因而也可以符号化为r∨s.
(3) t：张晓静挑选202房间。
u：张晓静挑选203房间。
由题意可知，(3)中“或”应为排斥或。t，u的联合取值情况有四种：同真，同假，一真一假(两种情况)。如果也符号化为t∨u，张晓静就可能同时得到两个房间，这违背题意。因而不能符号化为t∨u.如何达到只能挑一个房间的要求呢？可以使用多个联结词，符号化为
(t∧┐u)∨(┐t∧u)
此复合命题为真当且仅当t，u中一个为真，一个为假，它准确地表达了(3)的要求。当t为真u为假时，张晓静得到202房间，t为假u为真时，张晓静得到203房间，其它情况下，她得不到任何房间。
可见，相斥或可由相容或表示出来。
问：相容或能否由相斥或表示出来呢？

方式四：例1.2中“如果2是素数，则3也是素数”为“2是素数”与“3是素数”通过“如果……,则……”复合而成的。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 定义1.4 设p，q为二命题，复合命题“如果p，则q”称作p与q的蕴涵式，记作p→q，→称作蕴涵联结词。并规定p→q为假当且仅当p为真q为假。
p→q的逻辑关系表示q是p的必要条件。
注意： 在使用联结词→时，要特别注意以下几点：
1．在自然语言里，特别是在数学中，q是p的必要条件有许多不同的叙述方式。例如，“只要p，就q”，“因为p，所以q”，“p仅当q”，“只有q才p”，“除非q才p”，“除非q，否则非p”等等。以上各种叙述方式表面看来有所不同，但都表达的是q是p的必要条件，因而所用联结词均应符号化为→，上述各种叙述方式都应符号化为p→q.
2．在自然语言中，“如果p，则q”中的前件p与后件q往往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，p与q可以无任何内在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果p，则q”往往表达的是前件p为真，后件q也为真的推理关系。但在数理逻辑中，作为一种规定，当p为假时，无论q是真是假，p→q均为真。也就是说，只有p为真q为假这一种情况使得复合命题p→q为假。
方式五：例1.2中“2是素数当且仅当3是素数”为“2是素数”与“3是素数”通过“当且仅当”复合而成的。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 定义1.5 设p，q为二命题，复合命题“p当且仅当q”称作p与q的等价式，记作p 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值q， 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值称作等价联结词。并规定p 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值q为真当且仅当p与q同时为真或同时为假。
p 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值q的逻辑关系为p与q互为充分必要条件。
以上定义了五种最基本、最常用、也是最重要的联结词┐，∧，∨，→， 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值，将它们组成一个集合{┐，∧，∨，→， 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值}，称为一个联结词集。其中┐为一元联结词，其余的都是二元联结词。
使用这些联结词有什么好处呢？可以将复杂命题表示成简单的符号公式。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 例1.4 将下列命题符号化。
(1) 吴颖既用功又聪明。
(2) 吴颖不仅用功而且聪明。
(3) 吴颖虽然聪明，但不用功。
(4) 张辉和王丽都是三好学生。
(5) 张辉与王丽是同学。
解 首先将原子命题符号化：
p: 吴颖用功。
q: 吴颖聪明。
r: 张辉是三好学生。
s: 王丽是三好学生。
t: 张辉与王丽是同学。
(1)到(4)都是复合命题，它们使用的联结词表面看来各不相同，但都是合取联结词，都应符号化为∧，(1)到(4)分别符号化为p∧q，p∧q，q∧┐p，r∧s.在(5)中，虽然也使用了联结词“与”，但这个联结词“与”是联结该句主语的，而整个句子仍是简单陈述句，所以(5)是原子命题，符号化为t.
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 例1.5 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值：
(1) 如果3+3＝6，则雪是白的。
(2) 如果3+3≠6，则雪是白的。
(3) 如果3+3＝6，则雪不是白的。
(4) 如果3+3≠6，则雪不是白的。
以下命题中出现的a是一个给定的正整数：
(5) 只要a能被4整除，则a一定能被2整除。
(6) a能被4整除，仅当a能被2整除。
(7) 除非a能被2整除，a才能被4整除。
(8) 除非a能被2整除，否则a不能被4整除。
(9) 只有a能被2整除，a才能被4整除。
(10)只有a能被4整除，a才能被2整除。
解 令p：3+3＝6，p的真值为1。
q：雪是白色的，q的真值也为1。
(1)到(4)的符号化形式分别为p→q，┐p→q，p→┐q，┐p→┐q.这四个复合命题的真值分别为1，1，0，1。
以上四个蕴涵式的前件p与后件q没有什么内在的联系。
令r：a能被4整除。
s：a能被2整除。
仔细分析可知，(5)到(9)五个命题均叙述的是a能被2整除是a能被4整除的必要条件，只是在叙述上有所不同，因而都符号化为r→s。由于a是给定的正整数，因而r与s的真值是客观存在的，但是我们不知道。可是r与s是有内在联系的，当r为真(a能被4整除)时，s必为真(a能被2整除)，于是r→s不会出现前件真后件假的情况，因而r→s的真值为1.
而在(10)中，将a能被4整除看成了a能被2整除的必要条件，因而应符号化为s→r。由于a能被2整除不保证a一定能被4整除，所以当我们不知道给定的a为何值时，也不能知道s→r会不会出现前件为假的情况，因而也不知道s→r的真值。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 例1.6 将下列命题符号化，并讨论它们的真值。
(1) 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。
(2) 2+3＝5的充要条件是 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值是无理数。
(3) 若两圆A，B的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然。
(4) 当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之，当她唱歌时，一定心情愉快。
解 令p： 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值是无理数，真值为1，
q：加拿大位于亚洲，真值为0，
则将(1)符号化为p 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值q，其真值为0.
令r：2＋3＝5，其真值为1，则将(2)符号化为r 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值p，真值为1.
令s：两圆A，B面积相等，
t：两圆A，B的半径相等，
则将(3)符号化为s 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值t，虽然不知道s，t的真值，但由s与t的内在联系可知，s 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值t的真值为1.
令u：王小红心情愉快，
v：王小红唱歌，
则将(4)符号化为u 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值v.其真值要由具体情况而定。
三、复合命题真假值
通常用1表示真，用0表示假，复合命题的真假值如表1.1。
表1.1 基本复合命题的真值
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值，对于同一优先级的联结词，先出现者先运算。
二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值 例1.7 令 p：北京比天津人口多。
q：2+2＝4.
; r：乌鸦是白色的。
求下列复合命题的真值：
(1) ((┐p∧q)∨(p∧┐q))→r
(2) (q∨r)→(p→┐r)
(3) (┐p∨r) 二、复合命题与联结词 <wbr>三、复合命题真假值(p∧┐r)
解 p，q，r的真值分别为1，1，0，容易算出(1)，(2)，(3)的真值分别为1，1，0。

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