听泛函分析大牛讲不变子空间猜想的故事

数学里面著名的猜想不少，其中一个重要领域泛函分析中最著名的猜想称作不变子空间猜想。这个猜想，简单地说，就是复希尔伯特空间里面任何一个有界算子都有一个非平凡的不变闭子空间。[呲牙] 这个猜想最初大约在1950年左右在著名数学家Beurling和冯•诺依曼关于不变子空间问题的一些初步的成果上自然形成的，最初是对比希尔伯特空间更广的一类空间-复巴拿赫空间上提出的。六七十年代，许多泛函分析学家都曾致力于研究这个猜想，但进展缓慢。1973年，一位名不经传的年轻俄国数学家罗门诺所夫（Victor Lomonosov）以其一篇只有两页纸的简短论文震惊了数学界。这篇短文证明了巴拿赫空间中任何一个可以与非平凡紧算子交换的有界算子T都具有不变子空间，不仅如此，每个可以与T交换的算子也有不变子空间。这个结果是不变子空间问题的一个里程碑式的成就，超越了无数泛函分析学家以前在不变子空间问题上的工作。当时年轻的瑞典泛函学家恩福罗（Per Enflo）正在加州大学伯克利分校访问。据他回忆，当时伯克利数学系人人都在谈论这篇论文，不知这个罗门诺所夫是何方神圣，有人甚至怀疑罗门诺索夫不是一个人，而是像布尔巴基一样是一群数学家的笔名。1976年，恩福罗自己也震惊了一把数学界。他在多伦多举办的美国数学会年会上宣布他构造出一个反例，即在某个巴拿赫空间上存在一个有界算子没有不变子空间，从而证明了不变子空间猜想在巴拿赫空间中不成立。这个故事很有些像怀尔斯宣布证明费尔马大定理的故事，恩福罗宣布之后，过了好几年都没有了下文。直到1981年，他才整理好他的论文投稿到顶级数学杂Acta Math。不料之后五年这篇论文都一直没有人能够审稿，同时却像手抄本小说一样在数学家手中流传。原因很简单：这个反例的构造极其复杂，整篇论文有100页长！1986年，恩福罗的论文终于正式发表，巴拿赫空间上的不变子空间猜想彻底解决。这也是为什么现在的不变子空间猜想只针对一类特殊的巴拿赫空间-希尔伯特空间，因为人们仍然希望希尔伯特空间上的有界算子能够具有不变子空间。现在，希尔伯特空间上的不变子空间猜想仍然是泛函分析领域的一个主要猜想，仍然有待解决。