泊松分布,泊松过程与放射性元素半衰期

2012-06-21 22:21阅读：

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泊松分布
Poisson分布，是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。

泊松分布的概率为：
$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$
其中，随机变量X只能取非负值（X=k代表无限次实验中发生k次）
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布概率图

泊松分布P (λ)中只有一个参数λ ，它既是泊松分布的均值，也是泊松分布的方差。在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率 λ(或称密度)随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布

性质
服从泊松分布的随机变量，其数学期望与方差相等，同为参数λ： E(X)=V

(X)=λ

泊松分布的来源
在二项分布的伯努力试验中，如果试验次数n很大，二项分布的概率p很小，且乘积λ= n p比较适中，则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上，二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。

例子
对某公共汽车站的客流做调查，统计了某天上午10：30到11：47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批（每批可以是1人也可以是多人）是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次，共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100个、81个、34个、9个、6个。使用极大似真估计（MLE），得到的估计为0.8696。实际上各批次发生的频率与的泊松分布吻合的非常好。

Poisson过程

Poisson过程（Poisson process，）是随机过程的一种，是以事件的发生时间来定义的。
我们说一个随机过程 N(t) 是一个时间齐次的一维泊松过程，如果它满足以下条件：
在两个互斥（不重叠）的区间内所发生的事件的数目是互相独立的随机变量。
在区间内发生的事件的数目的概率分布为：
$P [(N(t+ \tau) - N(t)) = k] = \frac{e^{-\lambda \tau} (\lambda \tau)^k}{k!} \qquad k= 0,1,\ldots$
其中λ是一个正数，是固定的参数，通常称为抵达率（arrival rate）或强度（intensity）。所以，如果给定在时间区间 $[t,t+ \tau]$ 之中事件发生的数目，则随机变量 $N(t + \tau) - N(t)$ 呈现泊松分布，其参数为 $\lambda\tau$ 。

更一般地来说，一个泊松过程是在每个有界的时间区间或在某个空间（例如：一个欧几里得平面或三维的欧几里得空间）中的每一个有界的区域，赋予一个随机的事件数，使得在一个时间区间或空间区域内的事件数，和另一个互斥（不重叠）的时间区间或空间区域内的事件数，这两个随机变量是独立的。
在每一个时间区间或空间区域内的事件数是一个随机变量，遵循泊松分布。（技术上而言，更精确地来说，每一个具有有限测度的集合，都被赋予一个泊松分布的随机变量。）

放射性半衰期
放射性原子核各自独立地按其本身的性质发生衰变，各个核之间互不影响。根据衰变规律，在单位时间内发生衰变的核数由下式确定：

泊松分布,泊松过程与放射性元素半衰期

泊松分布,泊松过程与放射性元素半衰期

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