G的两个子群。则
HK≤G<=>HK=KH
证 1）设HK≤Ｇ，则由推论１知
（ＨＫ）
－１＝ＨＫ
但由于H
－１=Ｈ，Ｋ
－１＝Ｋ，（ＨＫ）
－１＝Ｋ
－１Ｈ
－１＝KH，从而
HK=ＫＨ．
２）设ＨＫ＝ＫＨ，则有
(HK)（HK）
－１=HK﹒K
－１H
－１=HKKH=HKH=HHK=ＨＫ
从而由由推论２（群G的一个非空子集的充分与必要条件是：HH=K）知，HK≤Ｇ。
应该注意的是，本定理中的条件是ＨＫ＝ＫＨ是两个集合的相等，并不是说Ｈ的任何元素与Ｋ中的任何元素相乘时可以交换，当然，对于交换群则另当别论，因此，交换群的任二子群之积必仍为子群。
课题正文
一、群的概论
群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数和整个数学中占有重要的地位。
在19世纪，数学中一个长达三世纪之久而未能解决的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，被挪威青年数学家阿贝尔和法国青年数学家伽罗瓦所彻底解决。从而推动了数学的发展，其重要意义是不言而喻的。但更重要的是，他们在解决这一问题时引入了一种新概念和新思想，即置换群的理论，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。因此可以说，阿贝尔和伽罗瓦是群伦和近世代数的创始人。
在阿贝尔和伽罗瓦之后，人们逐渐发现，对于这一理论中大多数的本质问题来说，用以构成群的特殊材料——置换——并不重要，重要的是只是在于对任意集合里所规定的带属性质的研究，即对代数系统的研究。这样一个现在看起来很平凡的发现，实际上是一个很大的突破，它的重要意义在于把置换群的研究推进到了更一般的抽象群的研究上去。这样便把群的研究建立在公式化的基础上，使它的理论变得更加严谨和清晰，从而为这一理论的进一步蓬勃发展开辟了广阔的前景。
二、群的性质
性质1
一个群如果只包含有限个元素，则称为有限群；否则称为无限群。
定理1 群G的元素a的左逆元
a 也是a的一个右逆元，既有
a a=a a =e.
证
因为a ∈G，故a 在G中也有左逆元，设为a ,即a
a =e.
由此可得
a a =e(a a )=( a
a )(a a )
= a [( a
a ) a ]= a (e a )
= a
a =e.
从而
a a=a a =e.
以后称a 为a的逆元。
定理2 群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对群G中任意元素a均有
ea=ae=a.
证
因为ae=a(a a)=(a a )a=ea=a,故
ea=ae=a.
以后称e为群G的单位元。
定理3 群G的单位元及每个元素的逆元都是惟一的。
证
设e与e 都是G的单位元，则根据单位元的定义，有
e e = e =e.
其次，设a 及a 都是a的逆元，既有
a a=a a =e,
a a=a a =e.
由此进一步得
a = a e= a (a a )
=( a a) a =e a = a ,
即a = a ，a的逆元是惟一的。
推论1
在群中消去律成立，即
ab=ac ﹦﹥ b=c,
ba=ca ﹦﹥ b=c.
证
因为ab=ac，所以a (ab)= a (ac),
即
( a a)b=(a a)c,
即b=c.
同理，
ba=ca ﹦﹥ b=c
三、子群的判定和子群的判定方法
1、<H1H2,*>是群<G,*>的子群的充要条件为H1H2=H2H
设<H1,*>和<H2,*>是群<G,*>H2}。Î的两个子群,H1H2={h1*h2|h1属于H1,H2
证 <H1H2,*>是群<G,*>的子群的充要条件为H1H2=H2H1
设H1H2=H2H1，只需证对任意a,b属于<H1H2,*>有a*b
-1属于<H1H2,*>。
由<H1H2,*>定义知，存在a1,b1属于<H1,*>和a2,b2属于<H2,*>使a=a1a2,b=b1b2。
那么，b^(-1)=b2
-1*b1
-1，由于<H1,*>和<H2,*>都是子群，所以b1^(-1)属于<H1,*>，b2
-1属于<H2,*>。
这样的话，a*b
-1=a1*a2*b2
-1*b1
-1。由于a2和b2
-1都属于H2，所以a2*b2
-1也属于H2，记为c。又因为H1H2=H2H1，必存在e,f分别属于H2,H1，使a1*c=e*f，这样的话
a*b
-1
=a1*a2*b2
-1*b1
-1
=a1*c*b1
-1
=e*f*b1
-1
又因为f和b1
-1都属于H1，所以f*b1
-1属于H1，e属于H2，所以a*b
-1=e*f*b1
-1属于H2H1。又因为H1H2=H2H1，所以a*b
-1属于H1H2，所以<H1H2,*>是群<G,*>的子群。
设<H1H2,*>是群<G,*>的子群。设p=a*b为一个H2H1集合中的元素，a属于H2，b属于H1。这样的话，a
-1和b
-1也分别属于H2和H1，于是p
-1=b
-1*a
-1属于H1H2。又因为<H1H2,*>是群<G,*>的子群，所以p=(p
-1)
-1也属于H1H2，于是H1H2包含H2H1。另一个方向的包含关系可以将上述推理反向而得到。结论就是H1H2=H2H1
证毕。
２、
设<G，*>是一个群，B是G的非空子集，如果B是一个有限集，那么，只要运算*在B上封闭，<B，*>必定是<G，*>的子群。
证明 设b是B中的任一个元素。若*在R上封闭，则元素 ＝b*b， ＝
*b，…都在B中。由于B是有限集，所以必存在正整数i和j，不妨假设i<j使得
＝
即
＝ *
。
这就说明 是<G，*
>中的幺元，且这个幺元也在子集B中。
如果，j-i>1，那么由 ＝b* 可知 是b的逆元，且
∈B；如果I- j＝1，那么由 ＝ *b可知b就是幺元，而幺元是以自身为逆元的。
因此，<
B，*>是<A，*>的一个子群。
例题2设G4＝{p＝<
p1，p2，p3，p4>| pi∈{0，1}}，⊕是G4上的二元运算，
证明<{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}，⊕>是群<G4，⊕>的子群。
证明
首先对于任意的X＝<x1，x2，x3，x4>，Y＝<y1，y2，y3，y4>，Z＝<z1，z2，z3，z4>∈G4
因为
xi yi∈{0，1}
所以
X⊕Y∈G4
因为
(xi yi) zi＝xi (yi zi)
所以
(X⊕Y)⊕Z＝X⊕(Y⊕Z)
<0，0，0，0>是幺元。
X⊕X＝<0，0，0，0>，即任一X，以它自身为逆元。
所以，< G4，⊕>是一个群。
其次，由于{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}
G4，且⊕在{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}上是封团的，由定理5-4.7可知<{<0，0，0，0>，<1，1，1，1>}，⊕>是<G4，⊕>的子群。
定理5、
设<G，△>是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a△b-1∈S，则<S，△>是<G，△>的子群。
证明 首先证明，G中的幺元e也是S中的幺元。
任取S中的元素a，a∈S G，所以e＝a△
∈S且a△e＝e△a＝a，即e也是S中的幺元。
其次证明，S中的每一元素都有逆元。
对任一a∈S，因为e∈S，所以，e△ ∈S即 ∈S。
最后证明，△在S上是封闭的。
对任意的a，b∈G，由上可知 ∈S
而
b＝
所以
a△b＝a△ ∈S
至于，运算△在S上的可结合性是保持的。因此，<S，△>是<G，△>的子群。
例题3
设<H，*>和<K，*>都是群<G，*>的子群，试证明<H∩K，*)也是<G，*)的子群。
证明
设任意的a，b∈H∩K，因为<H，*>和<K，*>都是子群，所以 ∈H∩K，由于*在H和K中的封闭性，所以a*
∈H∩K，由定理5即得<H∩K，*>是<G，*>的子群。
四、群与子群的关系判定及子群的几个定理
设H为群G的非空子集，则H为Ｇ的子群的充分必要条件是：任给 有
证明 (必要性) 设 为群 的子群, 所以, 对任意的
, 有 , 且 .
(充分性) 如果对任意的 , 有 . 则任给 , 有 , 进而 .
所以定理2的条件(2)成立. 又任给 , 由上面的证明知道, , 从而知 . 所以定理2的条件(1)也成立. 因此由定理2知, 为
的子群.
定义1、
设<G，*>是一个群，S是G的非空子集，如果<S，*>也构成群，则称<G，*>是<G，*>的一个子群。
定理2、设<G，*>是一个群，<S，*>是<G，*>的一个子群，那么，<G，*>中的幺元e必定也是<S，*>中的幺元。
证明 设<G，*>中的幺元为e1，对于任一x∈S
G，必有
e1*x＝x＝e*x，故e1＝e。
定义3、
设<G，*>是一个群，<S，*>是<G，*>的子群，如果S＝{e}，或者S＝G，则称<S，*>为<G，*>的平凡子群。
例题1
<I，+)是一个群，设IE＝{X|X＝2n，n∈I}，证明<IE，+>是<I，+>的一个子群。
证明
(1)对于任意的x，y∈IE，不妨设x＝2n1，y＝2n2，n1，n2∈I 则
x+y＝2n1+2n2=2(n1+ n2)
而
n1+n2∈I
所以
x+y∈IE
即+在IE上封闭。
(2)运算+在IE上保持可结合性。
(3)<I，+>中的幺元0也在IE中。
(4)对于任意的x∈IE，必有n使得x＝2n，而
-x＝-2n＝2(-n)，-n∈I，
所以-x∈IE，而x+(-x)＝0，因此，<IE，+>是<I，+>的一个子群。
五、子群与子群的乘积
定理 设H，K是G的两个子群，则
HK≦G
ó
HK=KH.
证
1) 设HK ≦G，有推论2知
(HK) =HK.
但由于H =H,K =K. (HK) = K
H =KH,从而
HK=KH.
2) 设HK=KH,则有
（HK）(HK) =HK. K
H =HKKH=HKH=HHK=HK.
从而由推论3知，HK≦G。
本定理中的条件HK=KH是两个集合的相等，并不是说H中的任何元素与K中任何元素相乘是可以交换。
一般的情况下，子群与子群的乘积不一定是子群，但是在一定的前提条件下，子群与子群的乘积可以是乘积。定理6中，条件HK=KH只是两个子群的乘积是子群的充要条件，那么三个子群的乘积是子群的充要条件是什么呢？
设H,K,L是群G的三个子群，则
①
HK设H,K,L是群G的三个子群G
ó
HK=KH.
②
HL≦G
ó
HL=LH.
③
KL≦G
ó
KL=LK.
我们把HK看成一个整体，假设HK是G的子群，则(HK)与L的乘积是子群的充分必要条件是
(HK)L=L(HK)
又因为HK=KH,
(KH)L=L(KH).
设H,K,L是群G的三个子群，若HKL是群G的子群，则
(HKL)(HKL)=(HKL)
且
(HKL) =(HKL).
又因为H,K,L均为子群，所以 H= H ,K= K
,L=L .
又因为 (HKL) = L
K
H ，
所以
HKL=(HKL) = L
K
H =LKH.
由此，得
出以下定理
定理 设H,K,L是群G的三个子群，则
HKL≦G
ó
HKL=LKH,HK=KH.
证明： 充分性，
因为HKL≦G,则有推论2知
(HKL) =(HKL).
但由于H= H ,K= K
,L=L .(HKL) = L
K
H ,
所以
HKL=(HKL) = L
K
H =LKH,
即
HKL=LKH.
因为(HKL) = L
(HK) =L(HK) =LKH
所以
(HK) =KH, 因为HK是G的子群，
所以
HK=KH,
必要性，
因为HKL=LKH，则有
(HKL) (HKL) =HKL. L
K
H =HKLLKH =HKLKH
又因为 HK=KH,
则
HKLKH=HKHKL=HKKHL=HKHL=HHKL=HKL,
由推论3知，
HKL≦G。
六、总结
通过对群的学习和研究，让我深刻体会到了代数的系统性和广泛性的特征，通过本次的课程论文的课题研究，我明白了群作为现代代数乃至现代数学的一个重大代数系统可以分化为小的代数系统，比如今天研究的子群以及子群的一些性质。
由本章本节的推论2 即 群G的一个非空子集H做成子群的充分与必要条件是：HH
-1=H
特别，群G的非空有限自己H做成子群的充分与必要条件是：HH=H
这使我理解到，一个群的两个子群的乘积一般不一定就是子群，但在一定的条件下可以是子群。于是对通过本课题的深刻研究终于理解到了群子群的的乘积仍是子群的判定条件。运用实际知识证明了本推论的成立。
七、附录
参考文献：
【1】 杨子胥.《近世代数（第二版）》.北京高等教育出版社2003
【2】 张禾瑞.《近世代数基础》北京人民教育出版社 1978
【3】 百度文库
http://wenku.baidu.com/子群的乘积
