群的子群的乘积是子群的判定条件
2010-10-28 19:38阅读：
群的子群的乘积是子群的判定条件
子群的定义：设G是一个群，H是G的一个非空集合。如果H本身对G的乘法也做成一个群，则称H为群G的一个字群。
当H是群G的子群时，简记H≤G;若H是G本身的真子群，则简记为H＜G。
要看群的一个子集是不是做成一个子群，由下面定理可知，不必验算群定义中的所有条件。
定理2 群G的一个非空子集H做成子群的充分与必要条件是：
（1）a，b∈H ab∈H；
（2）a∈H a-1∈H。
证 设H≤G，则G的代数运算也是H的代数运算，因此，当，a,b∈H时有ab∈H.
其次，当a∈H时由定理1知a-1∈H。
反之，设（1）与（2）两个条件满足，则（1）说明G的代数运算也是H的代数运算;结合律在G中成立当然在H中也成立；又根据（2），当a∈H时，a-1∈H，从而再由（1）得
a a-1=e∈H，
即H中有单位元e，且每个元素都有逆元。从而H是G的一个子群。 （证毕）
我们还可以进一步将定理1的两个条件合并成一个条件。
定理3 群G的非空子集H做成子群的充分与必要条件是：
b∈H ａｂ-1∈H。
证 设H≤G，则当a，b∈H由定理2知，ｂ-1∈H，从而
aｂ-1∈H.
反之，设当当a，b∈H时ａｂ-1∈H，则若a∈H，便有
aa-1=e∈H，ea-1= a-1∈H。
于是当a，b∈H时有a，b-1∈H，从而
a（b-1）-1=ab∈H。
故由定理1知，H≤G。
这个定理中的条件
a，b∈H a b-1∈H 或a，b∈H a-1 b∈H.
由于消去律在
G中成立，自然也在H中成立，则群G的有限子集H做成子群的充分与必要条件是，对G的乘法封闭，即
b∈H ab∈H。
推论1 群G的非空子集H做成子群的充分与必要条件是：
HH=H 且 H-1=H。
证 设H≤G,则HH=H显然。又若a∈H，则必a-1∈H ，从而
a=（a-1）-1∈H-1,
故H ∈ H-1.
同理可证H-1 H,故H-1=H.
反之设HH=H，H-1=H.则由HH=H知H对G的乘法封闭。另外，若a∈H，则a∈H-1.于是有b∈H使得
a=b-1，a-1=b∈H.
于是有定理1知，H≤G.
推论2 群G的非空子集H做成子群的充分与必要条件是：
HH-1=H.
特别群G的非空有限子集H做成子群的充分与必要条件是：
HH=H.
定理5 设H，K是群G的两个子群，则
HK≤G HK=KH.
证 （1）设HK≤G，则由推论1知
（HK）= kH.
但由于H-1 =H，K-1 =K，（HK）-1
=K-1 H-1
=KH，从而
HK=KH.
（2）设HK=KH，则有
（HK）（HK）-1 =HK·K-1 H-1
=HKKH=HKH=HHK=HK.
由推论2知，HK≤G
（证毕）
我们知道，群G的非空子集做成子群的条件并不少，如的上面的定理2，定理3，定理5，推论1，推论2等。我们将进一步讨论能够做成群G的子群的另一种情况：子群的乘积是子群的条件。
例1
取定一个整数n，令nZ={nz|z∈Z}，那么nZ是整数加群Z的一个子群，显然，这暑加群的子群的乘积仍然是子群。
证 由定理5知，设H，K是群G的两个子群，则HK≤G HK=KH。
很显然，群G的子群nZ对自身的乘法仍然是子群，即
（nZ）（nZ）=（nZ）（nZ）≤Z.
当另取两个整数m1,m2,（其中m1属于奇数，m2属于偶数），则
m1Z≤Z，m2Z≤Z，
所以（m1Z）（m2Z）=（m2Z）（m1Z）≤Z.
同理 也可以推出对任意整数m1，m2，都有，
（m1Z）（m2Z）=（m2Z）（m1Z）≤Z.
即整数加群的子群的乘积是子群。
（证毕）
结论1：任意两个整数加群的子群乘积是子群。
例2
设H，K是交换群G那的两个子群，显然，HK≤G。
证 由交换群的性质得，HK=KH，再由定理5得知HK≤G.（证毕）
结论2 交换群G的任意两个子群的乘积是子群.
例3
全体正实数R+ 对于实数的乘法做成群的子群的乘积是子群.
证 首先正实数的积仍为正实数，故R+
对于实数的乘法是封闭的，也即实数的乘法是R+的代数运算。其次R+
对乘法满足结合律。又R+ 中1是乘法单位，正实数的逆元仍为正实数。故R+
对实数的乘法满足群的定义的全部要求。实数乘法有交换律，故R+ 是交换群。
令H，K是群R+ 的任意两个子群，由前面的结论2可知，HK是R+
的子群。（证毕）
结论3 R+
的子群H，K的乘积HK是子群当且仅当群R+ 是全体正实数的乘法做成的群。
以上是直接从子群出发讨论两个子群的乘积是子群的条件。那么我们能不能间接的讨论两个子群的乘积仍然是子群的条件呢？不妨做一下尝试。我们知道，群G的一个非空子集H做成群G的充分与必要条件并不少。那么，讨论群的子群的乘积是子群的判定条件的问题是否可以引申到讨论一个非空子集和一个子群的乘积是子群的判定条件的问题呢？
给了群G，我们找出他的子群。
任取a∈G，命
Ta ：G G
X axa-1。
直接验证可知，Ta 是G到G上的一个一一对应。由
Ta （xy）=a（xy）a-1
=（axa-1）（aya-1）=
Ta（x）Ta (y),
还知 Ta 保持运算，这样Ta ∈群G。易见Ta
=I（恒等自同构），当然我们还知道对中心C中的任意元c，有Tc =I。
令子群Inn（G）={ Ta |a∈G}，则由
（Ta Tb ）（x）= Ta （Tb
（x））= Ta
（bxb-1）=a（bxb-1）a=（ab）x（b-1
a-1）
=（ab）x（ab）-1 = Tab （x），即（Ta
），任取x∈G，
知Ta Tb = Tab 。由此又知Ta
Ta-1 =
Ta-1 Ta = Te
，即（Ta）-1 = Ta-1
，故Inn（G）关于乘法和取逆元是封闭的，即它是群G的一个字群。
定义1 （1）称Ta 为群G的内自同构对应，而称Inn（G）为群的内自同构群；
（2）如果G的一个子群H在内同构群Inn（G）的作用下不变，即指对任意Ta，a∈G，都有Ta
（H） H，则称H为G的正规子群（或不变子群）。
由于群的运算有结合律，故对群G的三个子集M，N，P而言，也有（M·N）·P=M·（N·P），因而可把它们和元素的成绩一样简单地写成M·N·P而不必要加括号。注意到这一点，对G的正规子群H我们有
a∈G，Ta（H）=aHa-1 H，
包含号的两边用a去乘，得 a∈G，aH aH，特别的a-1∈G，也有a-1 H
Ha-1 ，故a（a-1 Ha）a a（Ha-1）a，既Ha
aH。这样便有
a∈G，aH=Ha。
说明H中的元素h和a“集体”可交换，既对任一h∈H，必有h′∈H使得ah=h′a，也有h〞∈H使得ha=ah〞。也有
M G，MH=HM.
可以看出正规子群H的定义，既子群H是正规子群当且仅当H和G的任意子集M相乘是可交换。
对于交换群来说，每一个子群都是正规子群。
为此，要讨论一个非空子集和一个字群的乘积是子群的判定条件的问题可以采用正规子群的定义去做（将正规群G的一个子集H在特定的条件下转换成正规子群H），则
M∈G，都有HM=MH.
从而得出，当H是G的正规子群时，HM是群G的子群。
结论4 两个子群H，K的乘积HK是子群当且仅当其中的一个子群是正规子群。
参考文献
1.
石生明.《近世代数初步》.高等教育出版社.2006.3.
2.
刘绍学.《近世代数基础》.高等教育出版社.1999（2003重印）.
3. 陈重穆
主编.《有限群伦基础》.重庆出版社.1983.4.
