[转载]正十七边形的尺规作图法。
2020-09-04 20:39阅读：
数学有一种无形的魔力，让人对它着迷。多年以来生活已经让我忘记了数学曾经带来的乐趣，我也早已
忘记了许多公式和定理，但是当我见到眼前这副图时，却再次被数学的魅力所折服。下面就让我们一睹
数学瑰丽吧。
这是幅图是用尺规作图画出的正十七边形。最早完成这个作图的是数学界的天才高斯。说到高斯可能很
多同学并不知道。但是提到上世纪被称为史上最伟大的物理学家爱因斯坦,却是无人不知。高斯正是爱因
斯坦的数学老师。
正十七边形的尺规画法是一道困扰数学界达两千多年的未解迷题。高斯给出正十七边形的画法时年仅十
九岁。1801年，高斯证明：如果k是质数的费马数(见下面注释)，那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分。高斯本人就是根据这个定理作出了正十七边形，解决了两千年来悬而未决的难题。
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正十七边形尺规作法（无刻度）：
附图：
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步骤一：
给一圆O，作两垂直的半径OA、OB，
作C点使OC＝1/4OB，
作D点使∠OCD＝1/4∠OCA，
作AO延长线上E点使得∠DCE＝45度。
步骤二：
作AE中点M，并以M为圆心作一圆过A点，此圆交OB于F点，
再以D为圆心，作一圆过F点，此圆交直线OA于G4和G6两点。
步骤三：
过G4作OA垂直线交圆O于P4，
过G6作OA垂直线交圆O于P6，
则以圆O为基准圆，A为正十七边形之第一顶点，P4为第四顶点，P6为第六顶点。
连接P4P6，以1/2弧P4P6为半径，在圆上不断截取，即可在此圆上截出正十七边形的所有顶点。
-----------------------------正十七边形的分隔线--------------------------------------
正十七边形的尺规作图存在之证明:
设正17边形中心角为α,则17α=360度,即16α=360度-α
故sin16α=-sinα,而
sin16α=2sin8αcos8α=4sin4αcos4αcos8α=16sinαcosαcos2αcos4αcos8α
因sinα不等于0,两边除之有:
16cosαcos2αcos4αcos8α=-1
又由2cosαcos2α=cosα+cos3α等,有
2(cosα+cos2α+…+cos8α)=-1
注意到 cos15α=cos2α,cos12α=cos5α,令
x=cosα+cos2α+cos4α+cos8№α
y=cos3α+cos5α+cos6α+cos7α
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosα+cos2α+cos4α+cos8α)(cos3α+cos5α+cos6α+cos7α)
=1/2(cos2α+cos4α+cos4α+cos6α+…+cosα+cos15α)
经计算知xy=-1
又有
x=(-1+根号17)/4,y=(-1-根号17)/4
其次再设:x1=cosα+cos4α,x2=cos2α+cos8α
y1=cos3α+cos5α,y2=cos6α+cos7α
故有x1+x2=(-1+根号17)/4
y1+y2=(-1-根号17)/4
最后,由cosα+cos4α=x1,cosαcos4α=(y1)/2
可求cosα之表达式,它是数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出。
---------------------------------费马数的分隔线--------------------------------------------
费马数是以数学家费马命名一组自然数，具有形式： 其中 n 为非负整数。若 2n + 1 是素数，可以得到 n 必须是2的幂。（若 n
= ab，其中 1 < a, b < n 且 b 为奇数，则 2n + 1 ≡ (2a)b + 1 ≡ (−1)b + 1
≡ 0 (mod 2a + 1)。）也就是说，所有具有形式 2n + 1 的素数必然是费马数，这些素数称为费马素数。已知的费马素数只有
F0 至 F4 五个。
法国数学家费马于1640年提出了以下猜想:
揭示了十进制和二进制的关系
可以发现
F0=2^(2^0)+1=3
F1=2^(2^1)+1=5
F2=2^(2^2)+1=17
F3=2^(2^3)+1=257
F4=2^(2^4)+1=65537
F5=2^(2^5)+1=4294967297
前5个是质数，因为第6个数实在太大了，费马认为这个数是质数。
由此提出(费马没给出证明)，形如Fn=2^(2^n)+1
的数都是质数的猜想。后来人们就把形如2^(2^n)+1的数叫费马数。
1732年，欧拉算出F5=641×6700417，也就是说F5不是质数，宣布了费马的这个猜想不成立，它不能作为一个求质数的公式。以后，人们又陆续找到了不少反例，如n=6
时，F6=2^(2^6)+1=274177×67280421310721不是质数。至今这样的反例共找到了243个，却还没有找到第6个正面的例子，也就是说目前只有n=0，1，2，3，4这5个情况下，Fn才是质数。甚至有人猜想：费马数N≥4时，费马数全是合数！
虽然费马数作为一个关于指数公式的尝试失败了,但有意思的是,1801年数学家高斯证明:如果费马数K为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形.
