康托尔集——勒贝格测度为零的不可数集

康托尔集，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康 托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由不断地去掉一条线段的中间三分之一得出。
以下介绍摘自luckypig_c_Onbwn的新浪博客：http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_5c99c6a50100e8wf.html?vt=4
著名的康托尔完全集是这样构成的：给出闭区间[0,1],把它三等分,第一次删去中间的那个子集(1/3,2/3),剩下[0,1/3]和[2 /3,1],再把这两个闭区间三等分,第二次删去中间的子集(1/9,2/9)、（7/9，8/9），剩下[0,1/9]、[2/9,1/3]、[2 /3,7/9]、[8/9,1]，如此继续下去直至无穷，那么最终剩下的集合的测度可用下式计算： 1-（1/3+2/9+4/27+……）=1-（1/3）/（1-2/3）=0
康托尔由此得出，剩下的集合是测度为0的连续基数集，这就是康托尔完全集。
同样给出[0,1],把它三等分,假使我们第一次删去[0,1/3),(2/3,1]剩下[1/3,2/3],第二次删去[1/3,4/9),(5 /9,2/3]剩下[4/9,5/9],如此继续下去直至无穷,那么剩下的区间连同[0,1]构成一个区间套序列,根据区间套原理有且仅有一点包含于区间 套序列中,在这个“不断删去”的过程中，中间的子集收缩成一点。
回过头再来考察康托尔完全集，可发现位于区间两头的子集也发生同样的收缩而成为一点，其他子集均匀分布于[0,1]中[第一次删去的(1/3,2/3)较 大],所以他们也同样收缩成一点,这样的话,最终剩下的康托尔完全集就是一个离散的连续基数集（基数等于2^N,用三进制编码，与实数等势）。要构造康托 尔完全集也可取五等分、七等分……由此得到的集合的基数是2^N和6^N,只不过五等分,七等分导致的收敛较快:
五等分 1-(1/5+4/25+16/125+……）=1-（1/5）/（1-4/5）=0
七等分 1-（1/7+6/49+36/