玛西.库克的数学砖
2010-06-23 08:54阅读：
Buzz
孩子们和我都喜欢玩Buzz，这是个十分钟长的数学练习，可以有各种变化，我每个礼拜都会和学生玩上好几次。全班起立，我随便选一个数字——假设是３好了——他们不可以把我选的数字大声说出来。在游戏过程中只要出现３，就要用Buzz这个字来代替。接着全班开始数到１００，学生要依序念出下一个数字。例如，如果选３当Buzz，第一个学生会说「１」，第二个学生说「２」，第三个学生说「Buzz」，下一个学生则说「４」。下一个说数字人是由我来指定，而不是按照顺序。这么一来，玩游戏的时候个要专心注意下一个数字。以数到１００为例，遇到２３和７３的时候都要说Buzz，因为这两个数字里面都有３。答错的学生就坐下来，看看数到１００的时候还有谁站着。这个游戏到了３０时就变得特别刺激，因为接下来的十个数字都要用Buzz回答。学生们要很专心；在这一连串数字以后，被指到的人要在正确的时机说出４０才可以过关。
随着孩子们的成长，你可以加入新的元素（例如：乘法或分数）来挑戢他们。举个例子，如果禁忌数字是６，那么孩子们可以这么玩：
我们也可以换另一种玩法，例如，不让学生说质数。看到学生在轮到自己的时候绞尽脑汁思考的模样，真是件很棒的事情。你会看见他在心里默默运用着四则运算的规则，然后说出数字或用Buzz代替，这个时候其他三十多名学生会安静地等着。他专心在算，而大家也都给予尊重，因为每个人都遇过这种状况。当学生最后说出「９１」的时候，我问同学他为什么不用Buzz来代替。学生们回答13×7=91，这个回答在我耳里听来就像音乐般美妙。这个游戏带来的欢笑和兴奋感受，以及让学生们学到的许多事情，都是做练习题无法达到的。
玛西库克
如果你知道玛西库克是谁，那么你应该已经知道她是协助学生理解数字方面的天才。她的确就像广告上所说的那么棒。
不熟悉玛西的父母和老师可以上她的网站
www.marcycookmath.com看看，你们不会失望的。
我在二十多年前的一次教职员发展会议中遇见环西，因为她，我在协助孩童理解数学的方上有了改变。我用她发明的两种方法使数学课更有趣、更不吓人，而且更有意义。
心算暖身
不少老师羡慕第５６号
教室在转换上课科目时的流畅度，我们一点都不浪费时间。我们班的数学课一定从心算开始，同时搭配使用玛西在她网站上大力推荐的「数字砖」，这么一来，从其他科目转换到数学课的过程会顺畅许多。每一个数字砖都是一吋见方大小的方块，上面分别印着数字１到９。从０到９的一整组数字砖要一美元。我在很久以前就买了３５套给学生使用，让他们用密封袋收好放在抽屉里。
在文法课结束时，我要学生把作业收起来。在他们收作业的同时，我们宣布一个心算题。这么做抓住了孩子的注意力。他们一边听问题，一边安静地把文法作业收起来，并且把数字砖拿出来放在桌上。宣布心算热身题的优点是让全班一同参与。解出答案时，每个学生都会选出他认为对的数字砖，高高举起。我没有叫任何人回答问题，所以没有人必须站在聚光灯下，也不会有伴随尴尬而来恐惧。看着全班学生高举着答案，我马上就知道谁已经会了，而谁需要协助。幼儿园学数数儿的小孩可以玩这个游戏，学三角函数的也可以用它来找余弦。
雷夫：好，孩子们，每个人心里想着７（他们照做了）。
乘以４（孩子们默默地想着２８）。
加倍（５６）。
减５０（６）。
给我看答案。
学生们立刻把６的数字砖拿起来。
我很喜欢把其他主题加到心算游戏里。我们想要孩子们知道的数字是那么的多。
雷夫：从美国的州数开始（５０）。
加上一打（他们现在想着６２）。
减去最高法院的法官人数（孩子们减去９得到５３）。
加上半个月的周数（有二周，现在孩子们得到５５）。
除以１１，然后给我看答案。
每个学生都把５举起来。孩子们能在脑中牢记这么多的信息真让我感到讶异。
雷夫：从一加仑有几品脱开始（８）
加上棒球赛的局数（１７）
乘以公分之于公厘的倍数（１７０）
减去美国参议员总人数（７０）
减去半打（６４）
给我看平方根。
数字８闪电般快速出现。
在学年结束之前，我班上的学生学会了公制单位、分数，以及各种帮助我们记忆科学、历，史以及文学的数字。这个简单的小游戏帮孩子们热身，让他们开心又充满活力。在专注于当天要学的技巧之前，他们已经充分做好学习的准备。
我见过优秀的老师们利用这个游戏加强学生的几何和三角函数、元素周期表，以及美国历史中的重要日期。它玩起来简单、花的时间也不多，而且孩子们乐在其中。许多学生也会自己玩这个游戏，并替全班设计问题。
玛克库克数字砖问题
玛克库克为各个程度的学习者研发了书籍和课程。她所贩卖的「任务卡包裹」里有二十个独一无二的问题，每个问题都是针对某个特定技巧和搭配数字砖进行心算练习所设计的。
最基础的任务卡是设计给年幼的学生学数数儿用的。卡片上有动物或物体的图像，图像旁边则有一个让学生放入正确数字砖的方格。在每张卡片上，这十个数字砖不能重复使用，以便学生自行更正。如果孩子认为数字３是答案，但是数字３已经用过了，那么他就知道有地方弄错了，接着根据这些线索去移动数字砖，不需要画掉或清除答案。
更高阶的任务卡着重于算数或其他技巧。每张卡片所教的内容并不只是基础的计算而已——卡片特别之处是，学生在玩的时候必须针对一系列的任务进行评估。
下图的卡片范例上有五个题目。记得：学生手上有十张数字砖——每张数字砖都有对应的方格。请看范例左下角的题目。我们可以用４和３来解题，因为4×8=32。但是，这题也可以用９和７来解，因为9×8=72。学生必须同时解开五个题目，才能找出每个数字砖究竟该放在哪个方格。正中央的题目有很多种解法，因为０被任何数字除都等于０。做题目的人被迫尝试多种解题组合，直到发现和个别空格相应的正确数字砖为止。经验、能力兼备的学生马上就能看出右上角的题只能用１和８来解。虽然0×8=0，但因为０的砖块只有一个，所以这个答案不可能是对的。
反复练习到亳无乐趣可言的学生不是知道答案，就是不知道答案。相对于此，玛克库克所设计的课程既丰富又有深度，提供我们另一种选择。她的教材确实丰富了数学课。在帮助落后学生复习基础概念的同时，也让程度好的学生有所成长。很多五年级生都会做分数相加的题目，但是他们能把每一块数字砖都派上用场，找出三组相当于1/4、1/3，以及1/2的分数吗？玛西的工具强调数学的乐趣和学无止境的道理。我班上最优秀的学生都明白，数学方面优异表现来自于学习的过程，而非上完每一章时要考的试。
此外，玛西的课程大多包括了多样化任务和多组数字砖。我常常让三个学生一起用三十块数字砖解题，每块数字砖都要用到一次。如此一来，孩子们不只做了数学题，还学着分工合作。他们学习倾听彼此的意见，也从中增进沟通技巧。突然之间，这项作业超越了数字的世界，孩子们发现他们置身于一个魔法天地。在那里，勤勉、思考，以及快乐合而为一，创造出我们理想中的高质量教育。
显然，数学题和游戏只是个开始，我将在后面章节讨论更多进阶的思考技巧。但重要的事情要先做：孩子如果想在未来持续在数学这一科有好的表现，就必须真正爱上数字才行。就像阅读一样，优秀的孩子在任何时间都找得到数学的乐趣。数学不是周一到周五早上九点半发生的事情，它随时随地都在我们身边。
最近，孩子们和我造访了芝加哥，为某个商业团体表演莎士比亚的作品。他们想要到硬石餐厅小吃一顿，这是本班的一项传统，我们利用排演的休息间时冒着风雪从饭店步行至安大略大道上的餐厅。孩子们很爱一边用餐，一边看着店里那些彷佛诉说着流音乐历史的各项纪念品，心理还默默祈祷着老师会去买Ｔ恤送给大家。侍者到我们这桌来服务的时候，我刚好去上洗手间。他见到一群孩子上门，于是就去拿蜡笔和菜单给他们着色。当他回来的时候，孩子们咯咯地笑着解释说，侍者不需要在他们等待上菜的时候娱乐他们，因为他们可以自得其乐。我回来的时候，孩子们正活力充沛地玩着Buzz游戏，而侍者就坐在我的位子上，玩得比孩子们还起劲。他对我说：「真希望我读五年级的时候也有人这么教我。」
第一章
我们不会被骗第二次
「这关系到妳的一生！」激动的老师对露西尖声叫喊着。「妳的未来就靠它了！给我坐下，闭上嘴巴，给我认真一点！」露西今天九岁，即将参加本州岛的数学测验。
我目睹了这一切。后来，露西告诉我最让她害怕的，是她老师整个人失控，甚至对她吐口水。
标准化测验已经成为本校的梦魇。在沉重的测验包袱下，老师们再也没有充分的时间好好教授学生应该精通的科目。孩子们因为参加测验而疲惫不堪，累到最后连自己的测验分数都不在乎了。这种情况衍生出许多悲哀的讽刺，其中最深刻的是：标准化测验旨在帮助孩子们成功，但在实际上却加速他们的失败。
我的班级在标准化测验的表现很好。在本章稍后，我将与各位分享帮助学生准备这类考试的一些方法。但我要先澄清一件事：席卷全国各校的这股测验狂热，对于孩童开发学习和个人潜能是有害的。
我不反对测验，因为我们需要评估孩子们的学习状况。精确、公平、合理的测验能帮助家长、老师，以及学生了解「已经精通」和「需要加强」的地方分别是哪些。拥有精确的数据对于教学与被教双方都很受用。
然而，现今的考试制度已经出现问题了。我们把过多的上课时间花在考试上，导致孩子们对分数越来越冷漠。例如，在二○○五年四月，我教的五年级学生参加了由加州政府所举办的史丹福九号测验。此测验会将年度总合结果打印在成绩纪录上。而学生们一直到十月才知道结果！足足等了六个月！他们从来就没有过检讨题目标机会，无法从答对和答错的题目中学到些什么。他们拿到的，是对他们而言什么意义有的百分点数字。最热衷于测验孩童的人，却创造出这么差劲的学习环境，这可真是讽刺性！事实上，许多受人尊敬教育家都怀疑测验公司根本不在乎孩子们的表现，他们只想在成绩不佳的学校身上大捞油水，利用我们对失败的恐惧日进斗金。请各位思考以下的情况：
◎
每个星期，我班上那些十到十一岁大的学生们都要考拼字和字汇。
◎
每周都参加州政府规定的数学科测验。
◎
每年参加三次州政府规定的自然科测验。四到六小时就这么平白浪费了。
◎
许多外籍学生参加英语测验，以向学区证明他们能流利使用这个语言。
◎
每年都要参加四次由学区举办的读写测验。每次测验占用大约十小时的授课时间。
◎
每年参加四次由学区举办的数学科测验。每次又占去一到两个钟头。
◎
每年交给学区三篇作文。每篇文章最多要花一整天才能完成，而且孩子们从没看到过结果。
◎
在一年结束之前，学生们会花两个星期参加加州测验。
容我模仿已故哥伦比亚广播公司（ＣＢＳ）当家新闻评论节目主持人爱德华穆洛的口气说：「这就是事实。」如果你也认为我们的体系太荒唐了，那想想看，我们的孩子会有什么感觉。即便如此，仍有许多孩子选择坚守阵地，证明了他们的勇气和能力。
在与各位分享帮助孩子们在这场战争中求生的诀窍之前，我要厘清一点：这些「楆准化」测验只是「为测验而测验」，除此之外什么都不是！报纸每年至少会刊出一次「标准化」测验结果，让大众看看各校表现如何。测验分数对于学校的未来可能有着决定性的影响。成绩不佳的学校经费会遭到删减，并且／或者列在观察名单上。
不过，请先暂停一下。这些测验分数并不精准；它们或许指出了某些趋势，但是大部分的事实是，州测验并未设置监考人员，通常是在无人监督的情况进行的——在教室里的，只有该班的老师和学生而已。学生对我说，有的老师站在学生背后，暗示（咳嗽）或明示（用手指戳或耳语）答案是对或错。如果测验有时间限制，老师干脆就让学生晚点交卷。
负责阅读计划的读写指导员会在测验日之前和老师们碰面，并做出令人不敢置信的事情——把阅读测验的题目拿出来给老师看（他们称此为「测验预览」）。老师们则在细读试题后把学生们需要理解或定义的单字逐一记下，再告诉学生会考什么，数日之后施行测验。
「孩子们在测验时的表现得比平常更好」，真是太神奇了！读写指导员事后可以利用这样的结果吹嘘他们的训练系统多么有效。我知道有很多老师扣绝参与「测验预览」，然而不可思议的是，还是有很老师都参加了。显然，参加的老师已经说服了自己，认为在测验前公布答案的行为是可以接受的。我们就坦诚一点吧。「告诉孩子们要考乘法，并教他们乘法来帮他们准备考试」是一回事；而「要孩子们记得明天要考试，还说第一题的答案是４３２」却是另一回事，两者绝不能一概而论。
书要怎么读
管我们班的学生事先不知道会出什么题目，他们仍然在测验时有很好的表现。我们看待测验的态度是很严肃的——本班班训中的一条，就是「凡是值得做的事情，就值得好好做」。不过，我们不会花费大量时间准备特定测验。我的做法是让学生学会有效的读书方法。
多年前，我听到在曲棍球界素有「史上最伟大球员」之称的「冰球皇帝」葛瑞斯基的访谈，并受到他深远的影响。葛瑞斯基谈到他和他父亲的关系，特别是他如何在父亲的教下建立工作道德。葛瑞斯基小时候问父亲可不可以到外面去滑冰，他父亲的准许是有条件的：不准随意滑冰，要练习特定的动作和射门。他在很小的时候就懂得有效练习，不要浪费时间，而这个早年养成的习惯也助他一臂之力，使他成为史上最伟大的曲棍球员。
读书也是一样的。我教我的学生：怎么读比读多少更重要。所以他们知道，要达到有效读书目的，就必须「模拟考场情况」。
许多认真的学生在准备字汇测验时的态度，则是用功用错地方的经典例子。他们自制字卡，在卡片的一面写上单字，在另一面写上定义，有空的时候就自自答一番。这个方法对有些孩子来说似乎有效，但在我的经验中，考试表现不佳但发出「我有念书啊！」悲鸣的人数，却远多于前者。
他们确实用功过了，但并未采取有效的方法。应试时，学生必须在试题纸上写出单字和定义，写下练习卡无法模拟这种考场情况。师长的我们有义务让孩子们知道这一点。
让我来举个例子。假设孩子们要参加数学科测验，在测验前一天放学前，我一定会花时间提早讨论当天晚上他们应该怎么准备考试，以及用什么态度做准备。我当天不会给他们出家庭作业，我们之间的对话通常是这样的：
雷夫：各位梦奇津人（《缘野仙踪》中住在奥兹王国的梦奇津人，是一群热助人、负责、讨喜，但身材矮小的好人），你们今天表现得很好。谁记得明天会发生什么事？
艾瑞克：明天有数学科测验。
雷夫：就这样？
艾瑞克：要考整数。
雷夫：既然大家不用写家庭作业，你们今天晚上很轻松啊，对不对？
全班：不对！
雷夫：那你们今天晚上要怎么过。你们会把数学课本拿出来看吗？
全班：不会！
雷夫：为什么？
苏：因为我们明天不会看数学课本。
雷夫：没错。那明天会发生什么事情？
苏：你会出题目考我们整数，我们要把题目写下来，然后解出答案。
雷夫：苏，你说的完全正确。谁可以把他今天晚上会做的事情告诉我？
艾德加：我会做第二六五页上的题目。这是整章的复习。
雷夫：可是你已经做过啦。我没有要你们再做一次。
艾德加：我不是因为你要我们做才做的，是因为这一页的题目跟你明天会考我们的很像才做的。我想模拟考场情况。
雷夫：你在做题目的时候会什么音乐？
艾德加：我不会听音乐。
雷夫：可是你很喜欢音乐啊，艾德加！
艾德加：我是很喜欢音乐，但是明天考试的时候不会放音乐。我要在跟考场完全一样的环境中做题目。
雷夫：那你呢，雅各布？
雅各布：我要做第二六二页上面的题目。上面有整数相减的题目。有些我没做到，要加强练习。
史蒂芬妮：整数相减的题目习题本上还有很多，你可以做做看。
雷夫：确实如此，你可以做做看。妳有什么想法呢，薇拉瑞亚？
薇拉瑞亚：也可以自己设计题目。
雷夫：要是今天晚上遇到不懂的题目，该怎么办？遇到这种情况的时候你们会怎么做？
蓝迪：可以打电话给朋友。
鲁迪：可以打电话给你。
洁西卡：我们明天可以早点来学校，请你帮忙。
雷夫：我一定会帮忙的。还有，我认为你们今天晚上应该熬夜准备到半夜。
全班：不对！
雷夫：（假装很震惊的样子）真的吗？为什么？
全班：我们要早点去睡觉，因为睡眠很重要。如果我们精神很好的话，明天就会考得比较好。
这些都是用有效方法用功的孩子。在追寻第四阶段的道路上，他们读书是为了自己，不是为了别人。他们做好了准备，而且心情很放松，在考场上也有出色的表现。
结果
父母和老师可以透过讨论考试结果来帮助孩子，让孩子明白「行动」和「成果」之间的相互关系。然而，当全国的注意力都聚焦在测验时，我们往往会在孩子身上施加过当的压力。这不但让们过着悲惨的生活，也降低了他们做出最佳表现的机会。
有些老师对学生说，他们的未来决定于测验的分数；有些老师提醒孩子们，表现不佳会让父母与老师颜面扫地。在第５６号教室，我会告诉孩子们几件可以帮助他们放松的事情，在考场上才有更好的表现。
首先，我要他们告诉我，以前他们考不好的时候老师都怎么发飙的恐怖故事，我们常常讲到笑翻天，这么做有助于放松。接着，我向他们说明一个重要的概念：测验就像温度计。它是一项测量工具，就这么简单。只是它测的不是温度，而是对某项技巧的理解与否。我提出一个问题：要是他们某次数学没考好，会有什么实际结果？他们的未来是不是完蛋了？隔天太阳是不是照样升起？孩子们需要了解，一次没考好并不代表世界末日了。爸妈还是爱他们的，我也是。如果学生在某次乘法测验中表现不佳，这只代表着一件事情：他还不了解这个技巧，而我很愿意再为他讲解一次。回到「信任」的主题上来看，我说到做到。我前后一玫的行动让孩子们知道我不会放弃他们，也不会因为某一回测验的分数而生他们的气。身为大人的我们，必须努力帮助孩子们安全渡过分数的陷阱。
父母和老师必须牢记在心，绝对不可拿某个学生的测验分数跟另一个学生相比，一定要用学生自己过去的表现来衡量他现在的进步。世界上总是有更会阅读、数学更强，或是棒球打得更好的人。我们的目标是开发每一位学生的特质，尽可能让他成为一个特别的个体。身兼教师和父亲角色的我，也一直在学习和改进当中，我用自己过去的行为作为标准来衡量我的成功或失败，从来不拿自己和另一个老师或其他父母相比。
应试技巧
许多好老师都会协助学生了解「很会考试」的重要性。考选择题的时候，「会不会考试」往往对成绩有着决定性的影响。SAT可能是最好的例子：很少人不同意应试技巧对考试表现的影响力和理解力是不相上下的。我用以下的几个策略帮助学生解选择题。
上数学的时候，我设计了一个活动，让孩子们因为觉得自己很聪明而爱上它。在我们玩完心算游戏或是一轮Buzz之后，就开始做一种很特别的题目。题目可能简单如加法，也可能复杂如代数，我通常会在教完技巧后出十到十五个题目给孩子们练习。举例：在出给孩子们自己算之前，我会在黑板上多出一道题目：
63+28=? A. B. C. D.
雷夫：好，同学们，假装这是你们史丹福九号测验的题目。我们大家都知道，史丹福九号测验会决定你们未来的快乐、成功，还有你们在银行里有多少钱（孩子们咯咯地笑了）。谁知道答案？
全班：９１。
雷夫：很好。我们把９１放在选项Ｃ。有谁可以告诉我选项Ａ会是什么？
伊索：３５。
雷夫：太棒了！为什么是３５呢，伊索？
伊索：好让把加法弄错成减法的学生选。
雷夫：完全正确。谁来帮选项Ｂ设计一个错的答案？
凯文：８１，给忘记进位的学生选。
雷夫：又说对了。班上有没有很聪明的侦探会帮选项Ｄ设计答案的？
保罗：８１１可以吗？给乱加一通又忘记进位学生选。
全班大笑。
在第５６号教室，孩子们知选择题是精心设计的结果，在正确答案以外的其他选项很少是随便填写的。设计考题的人都是预测学生会在哪里犯错的专家。当孩子们在解题过程中出了错，然后看到选项里有他所算的（不正确）答案，就会认为自己一定没错。我们班的学生喜欢扮演侦探，「找出」以及「回避」潜在陷阱的过程让他们乐在其中。
如果数学科测验有二十道选择题，第５６号教室的孩子们会视之为八十题。他们的任是找出二十个正确答案和六十个不正确的答案。听见班上学生在标准化数学测验中发出的声音，总让我情绪异常激动。最常听见的声音是发现陷阱的咯咯轻笑。因为孩子们很爱这种识破测验陷阱的感觉，所以才会在发现一个又一个陷阱时忍不住笑出声来。
提升应试技巧的下一个策略，与订正模拟考题的答案有关。我们不能只是说出答案让他们自己打分数，而错失了强化孩童能力的良机——「订正答案」就是一个好机会。
在第５６号教室订正答案时，假设我问第十七题的答案是什么，学生都不准只回答Ｃ，回答的人必须解释选Ｃ的理由，并进一步说明为什么不选其他答案。这么一来，孩子们被迫检视、考虑、分析该考题的所有选项。如果我们改的是「阅读练习」，孩子必须告诉我他选Ａ是因为「可以在第二段第三行看到问题的答案」，他还必须说明为什么其他的答案是错的，以及其他选项的用字遣词如何让不经心的学生掉入陷阱。
以口述方式批改模拟考分数，等于是带着孩子们预演考场上的独自思考过程。从而有效模拟了考场情况。我们必须经常敦促孩子们多多运用批判性思考的肌肉，要求他们省己在课堂上说出的答案提供合理解释。在对待模拟考的严肃态度中，孩子们会用相同的魄力一一击破真正的考题。这样的魄力将成为他们的一部分，而他们所发展的应考技巧也将在未来的人生路上助他们一臂之力。和其他同样聪明的学生们相比，他们总是略胜一筹。哈姆雷特说得好：「有备无患。」
