数学建模：降落伞的选择问题
2011-10-18 17:56阅读：
摘要
本文最终解决了向灾区空投物资时，该如何选择合适的降落伞即能使所有物品按时按量发放，又使投放的费用最低。经过细致入微的读题分析题目，我们针对这一问题，运用数学归纳的方法，将题目的求解细分为三个步骤。
首先根据题中所300kg从500m高度下落所给的数据先确定阻力系数k的值2.943。
其次根据阻力系数k的值，运用excel分别计算出各种伞的最大载重量m1为152kg，m2为237kg，m3为341kg，m4为465kg，m5为607kg。
最后，运用物理学和非线性规则的方法来建立数学模型把实际问题简化，得出满足空投要求的条件下，选择用r3伞6个。使用费用最低为的结论。在第二问中，把设t1为打开伞的时刻，以此为临界点，根据物理运动学公式最后解出最佳打伞时间t1为6s。通过以上的建模步骤，最终完成题目。
关键词：数学分析、非线性规划、优化设计、lingo、物理学
问题的重述
通常使用飞机投放物资要考虑两方面的问题，一方面要使所有物资尽快准确的投放到指定地点满足人民群众生产生活所需的物质资料，另一方面要使投放所花费的资金尽量少优化资源的配置。本题我们着重解决的是另一方面的问题即选择合理恰当的降落伞使在满足空投要求的条件下，使费用最低。每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用C1由伞的半径r决定，见表1；绳索费用C2由绳索总长度及单价4元/米决定；固定费用C3为200元。
题中已知物资共2000kg，空投高度500m，降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。降落伞面为半径r的半球面，用每根长l共16根绳索连接的载重m仅位于球心正下方球面处。
现有半径r=3m，载重m=300kg的降落伞从500m高度作降落试验，测得各个时刻的高度x，用于确定阻力系数k。最终，要求根据所给出的个个伞面的面积求出载重，运用线性规划的方法最终确定选择降落伞的方案的最优解，使总的费用最低。
第二问中，要求落地速度不超过20m/s，求出伞打开的时间。
模型的假设
1、假设物体下落时水平初速度为零。
2、绳子的价格已算入伞面的价格中，计算时不作考虑。
3、解题时忽略伞受到的水平阻力。
4、假设所投放的物品可任意分割不受限制。
5、不考虑降落伞的质量。
符号的说明
ri：各种半径伞的个数；
mi：各种半径半径伞的最大载重；
k：阻力系数；
S：伞的面积；
r：伞的半径
x：伞距地面的高度；
H：伞下降的高度；
V：伞下落时的速度；
C1：伞面费用；
C2：绳索费用；
C3：固定费用；
L：绳长。
模型的建立与求解
如图，对伞进行受力分析，由牛顿第二定律可得：G-F=ma；
变形后得：a=(G-F)/m=(mg-ksv)/m；
又根据运动学公式：a=dv/dt=(G-F)/m=(mg-kvs)/m；
对上式进行积分：∫dv=∫g-(ksv/m)dt；
积分后得v=mg/ks(C1-e-kst/m)。
根据初始时刻t=0时，v=0得出C1=1
最终得到速度v与下落时间t的关系式：
v=mg/ks(1-e-tm/ks)。
①
又设物体的下降距离为H，则下降距离H与速度v的关系为：dH/dt=v；
带入①式速度v的表达式，两边积分：∫dH=∫m/ks(1-e-kst/m)dt；
得：H=mt/ks+(m/ks)2*e-kst/m
+C2
再根据初始条件t=0时，L=0得出C2=-(m/ks)2
最终得到下降距离L与下落时间t的关系式：
H= mgt/ks+(m/ks)2*g*
e-kst/m
②
由于物体从500m的高度下落，所以有H=500-x的约束条件，可对①、②式进行简化，最终得到：
v=mg/ks-（mg/ks)e- ks/t
③
x=500-mgt/ks-(m/ks)2*g*e-kst/m
④
由题目中所给出的表格可得出Δs与Δt的关系如下表：
再画出Δs与随时间t的变化曲线，如下图所示：
由图可得0-8s是变加速运动，8s以后近似为匀速直线运动，则可求得物体下落的平均速度v’=（53+55+53+59+55+52+53+54）/8/3=17.67m/s
匀速直线运动时有阻力等于重力即：mg=f=kvS，代入数据m=300kg，g=9.8N/kg，v’=17.67m/s。
再由S=2пr^2=56.5488m^2,
最终得到
k=mg/kvS=2.943。
紧接着由阻力系数k来确定各伞面的最大的载重量mmax，为简化模型另b=m/ks从而对③④式进行化简得到：
v=b*g-b*g*e-t/b ，
t=-b*ln[(bg-v)/bg]
⑤
H=bgt-b 2g
2e-t/b
⑥
将⑤式中t的表达式带入⑥式中得到：
X=500+b2*g*ln(1-v/bg)+
b2*g2-b*g*v；
v=b*g/k/S-b*g*e-t/b,
由约束条件x=0时，v=20,可求得m与r的关系，处理数据后取整，最终确定最大载重量分别是m1为152kg，m2为237kg，m3为341kg，m4为465kg，m5为607kg。
下面需要计算每种伞面的价格。由题中所给的已知条件物体在球面上，可知绳长L与半径r的关系式为：
L=1.414*r，所以每种伞的价格c2=16*4*L。
r
|
2
|
2.5
|
3
|
3.5
|
4
|
C2
|
181
|
226
|
271
|
317
|
362
|
再加上每种伞的固定费用C3=200元。最后总的费用如下
r
|
2
|
2.5
|
3
|
3.5
|
4
|
C3
|
446
|
596
|
822
|
1177
|
1562
|
现在由求得的最大载重和伞的固定费用，来确定所需购买的伞。此时，问题转化成了简单的线性规划问题。由约束条件列出式子，
最低费用：min=446*r1+596*r2+822*r3+1177*r4+1562*r5；
约束条件：m1*r1+m2*r2+m3*r3+m4*r4+m5*r5≥2000；
附加:r1，r2，r3，r4，r5∈Z+；
运用lingo进行求解。在运算的过程中为了简化lingo的运行时间可根据题目确定伞的上下限，
即上限为
2000/m5=14,
下限为
2000/m1=4。
然后用lingo求解模型，最终可得，需6件半径为3的降落伞。
问题二要最佳的开伞时间t1。经考虑我们认为最佳开伞时间就是使落地速度不超过20m/s的开伞时间，因为这样既能保证物资的安全，又能在同等条件下多投放物资节约成本。
设t1秒时打开伞，此时
v1=gt1，s1=gt12
同样有
a=dv/dt=(mg-kVs)/m；
积分后得打开伞后速度随时间的关系：
v=[m*g-(m*g-k*s*g*t1)*e-ks(t-t1)/m]
⑦；
再由打开伞后下降高度与时间的关系：
dH/dt=m*g-(m*g-g*k*S*t1)*
e-ks(t-t1)/m/k/s,
两边积分可得
H-g*t1^2/2=mg(t-t1)/k/s+m^2g-(m*g*k*s*t1)*
[e-ks(t-t1)/m-1]/k^2/S^2 ⑧；
考虑降落伞落地时的临界状态，
将H=500m，v=20m/s带入⑦、⑧两式中,数据如下表所示。
t
|
y
|
t
|
y
|
t
|
y
|
1
|
-13713201
|
9
|
-2855608
|
17
|
25374063
|
2
|
-13306038
|
10
|
-276935
|
18
|
30124246
|
3
|
-12627435
|
11
|
2573177.1
|
19
|
35145868
|
4
|
-11677394
|
12
|
5694728
|
20
|
40438929
|
5
|
-10455915
|
13
|
9087717.5
|
21
|
46003429
|
6
|
-8962996
|
14
|
12752146
|
22
|
51839367
|
7
|
-7198639
|
15
|
16688013
|
23
|
57946744
|
8
|
-5162843
|
16
|
20895319
|
24
|
64325559
|
|
|
|
|
25
|
70975814
|
由Excel画出图像如下图所示
由图可知t1在0≦t1≦6秒之间均可以，再由题目可知落地时速度v小于等于20米每秒，所以最终得最佳开伞时间为：t1=6s。
模型评价
本题求解建模的过程，不仅解决了当下的问题，对与同类型的问题也有很大的借鉴作用。例如，集装箱装货问题等。在解决问题时，我们采取的分步求解法，不但细化了问题，还使问题得到更全面丰富的结果，是题目完整更具实际的意义，建模的过程是理论与实践完美结合的过程，也是我们不断摸索进步的过程。以此来看，我们建立的模型不仅对该题的解决有至关重要过程，也为以后解决别的问题拓展了思维开拓了眼界。
当然任何事物都有它的弊端，一味的建立模型与算法在一定程度上也限制了我们创造性的思维，对于计算机各种程序的运用生疏放慢了解题的速度，为后来的结果的得出制造了不必要的麻烦。
