7. 同底数幂的除法

2010-02-02 16:20阅读：

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　　（1）同底数幂的除法：a^m÷aⁿ=a^m-n (a≠0, m, n均为正整数，并且m>n)
　　①同底数幂的除法是整式除法的基础，要熟练掌握。同底数幂的除法法则是根据除法是乘法的逆运算归纳总结出来的，和前面讲的幂的运算的三个法则相比，在这里底数a是不能为零的，否则除数为零，除法就没有意义了。又因为在这里没有引入负指数和零指数，所以又规定m>n。能从特殊到一般地归纳出同底数幂的除法法则。
　　②同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数与除式的指数相等，那么商等于1，即a^m÷a^m=1,m是任意自然数。a≠0, 即转化成a⁰=1(a≠0)。
　　③同底数幂的两个幂相除，如果被除式的指数小于除式的指数，即m-n<0时，指数部分为负整数则转化成负整数指数幂，再用负整数指数幂法则。
　　④要注意和其它几个幂的运算法则相区别。
　　⑤还应强调：a^m·aⁿ=a^m+n与a^m+n÷aⁿ=a^m的互逆运算关系，同时指数的变化也是互逆运算关系，应沟通两者的联系。

　（2）零指数：a⁰=1 (a≠0)
　　①条件是a≠0，0⁰无意义。
　　②它是由a^m÷aⁿ=a^m-n当a≠0，m=n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数与除式的指数相等时即转化成零指数幂，它的结果为1。

（3）负整数指数幂：a^-p==(1/a)^p

(a≠0, p是正整数）
　　①当a=0时没有意义，0^-2, 0^-3都无意义。
　　②它是由a^m÷aⁿ=a^m-n 当a≠0, m<n时转化而来的。也就是说当同底数幂相除时，被除式指数小于除式指数时即转化成负指数幂。a^-p结果为a^p的倒数，也就是说一个不为零的数的负整数指数幂等于这个数正整数指数幂的倒数，也可以等于这个数倒数的正整数指数幂，即a^-p=(1/a)^p (a≠0,p为自然数）
　　③a^p=(1/a)^-p与a^-p=(1/a)^p这两个等式反映出正整数指数幂与负整数指数幂的相互联系，这两个指数幂的互化，即负整数指数幂用正整数指数幂来表示，或正整数指数幂用负整数指数幂来表示，只要将它们的底数变倒数，指数变相反数即可，然后再进行计算。例如(1/3)^-2先将底数变成它的倒数3，再将指数-2变成它的相反数2再进行计算，即：(1/3)^-2=(3)²=9。又如：1/x可进行这样的变形：先将底数1/x变成它的倒数x，再将x的指数1变成它的相反数-1，也就是1/x=x^-1。以上这样的变形可用四个字来概括即：“底倒指反”。

(4)用科学记数法表示小于1的正数：
任何一个小于1的正数，都可写成a×10ⁿ的形式，其中1≤a＜10，即a是带一位整数的小数或一位整数，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中从左往右第一个不为零的数字前面所有零的个数（包括小数点前的一个0）。

例1.计算：(1) a¹⁵÷a³　　 (2) a⁸÷a⁷　　 (3) a⁵÷a⁵　　
(4) x^m+n÷xⁿ　 (5) x ^3m÷x^m (6)x^3m⁺²ⁿ÷x^m+n

　　解：(1) a¹⁵÷a³=a^15-3=a¹²
　　(2) a⁸÷a⁷=a^8-7=a　　
　　(3) a⁵÷a⁵=a^5-5=a⁰=1
　　(4) x^m+n÷xⁿ=x^m+n-n=x^m　　
　　(5) x^3m÷x^m=x^3m^-m=x^2m　　
　　(6)x^3m⁺²ⁿ÷x^m+n=x^3m^+2n-(m+n)=x^2m⁺ⁿ

　　注意：同底数的幂相除，是底数不变，指数相减，而不是指数相除。如a¹⁵÷a³=a^15-3=a¹²　而不是
a¹⁵÷a³=a¹⁵^÷3=a⁵.

　　例2.计算：(1) (a³)⁵÷(a²)³　　　(2) (x⁵÷x)³　　
(3) (x⁴)³·x⁴÷x¹⁶　　 (4)(a⁷)³÷a⁸·(a²)⁶　

　　解：(1) (a³)⁵÷(a²)³　　分析：①应先乘方再乘除
　　　　　=a¹⁵÷a⁶　　　　　　　　②(a³)⁵=a³^×5=a¹⁵用幂的乘方法则运算
　　　　　=a^15-6=a⁹　　　　　　　　③应用同底数幂相除法则
　　(2) (x⁵÷x)³　　　　　分析：①有括号先做括号内的
　　　　=(x^5-1)³　　　　　　　　　② 括号内应用同底数幂的除法法则
　　　　=(x⁴)³=x⁴^×3　　　　　　　③ (x⁴)³应用幂的乘方法则
　　　　=x¹²
　　(3) (x⁴)³·x⁴÷x¹⁶　　　分析：①先乘方运算再做乘除法
　　　　=x¹²·x⁴÷x¹⁶　　　　　　　②同底数幂的乘除混合运算
　　　　=x^12+4-16 　　　　　　　　 ③转变为底数不变指数相加、减
　　　　=x⁰=1　　　　　　　　　　　④ 零指数法则
　　(4)(a⁷)³÷a⁸·(a²)⁶　　分析：①先做(a⁷)³, (a²)⁶的计算
　　　　=a²¹÷a⁸·a¹²　　　　　　　②转化为同底数幂除法，乘法混合计算
　　　　=a^21-8+12=a²⁵　　　　　　　③转化为指数相减和相加

注意：例题的计算中的混合运算注意运算顺序，不要出现以下错误：a²¹÷a⁸·a¹²=a²¹÷a²⁰=x.

例3.计算：(1) ( 2a+b)⁵÷(2a+b)³　　 (2) x⁸÷(x⁴÷x²)　　
(3) [(a²)⁴·(a³)⁴]÷(a⁵)² *(4) (x+y)÷(x+y)^-1

　　解：(1) (2a+b)⁵÷(2a+b)³　　分析：①此题为同底数幂相除
　　　　　　=(2a+b)^5-3　　　　　　　　　②底数为(2a+b)不变，指数相减
　　　　　　=(2a+b)²　　　　　　
　　(2) x⁸÷(x⁴÷x²)　　　　　　　分析：①先做小括号内的运算
　　　　=x⁸÷(x^4-2)　　　　　　　　　　　②除法没有分配律，不能出现以下错误：
　　　　=x⁸÷x²　　　　　　　　　　　　　如：x⁸÷(x⁴÷x²)=x⁸÷x⁴÷x²=x⁴÷x²=x²
　　　　=x^8-2=x⁶
　　(3) [(a²)⁴·(a³)⁴]÷(a⁵)²　　分析：先做小括号乘方再做中括号乘法，
　　　　=(a⁸·a¹²) ÷a¹⁰=a²⁰÷a¹⁰ 　　　最后做除法
　　　　=a^20-10=a¹⁰
　　*(4) (x+y)÷(x+y)^-1　　　　　分析：①可运用同底数幂相除的法则：
　　　　=(x+y)^1-(-1)　　　　　　　　　　底数不变指数相减，即底数(x+y)
　　　　=(x+y)²　　　　　　　　　　　　　不变，指数：1-(-1)=2

例4.（北京东城区）1纳米=0.000000001米，则2.5纳米用科学记数法表示为（　）
　　A、2.5×10^{– 8米　　 B}、2.5×10^–9米
　　C、2.5×10^{– 10米　　D}、2.5×10⁹米
　　
评析：根据换算关系先将2.5纳米换算成米为单位,即0.0000000025米，然后再用科学记数法表示为
2.5×10^－9米^故选^{B

　　说明：把一个正数b用科学记数法改写成a×}10ⁿ的形式时，0≤a＜10，n可正、可负，也可是0；当b≥10时，n是正数，当1≤b＜10时，n等于0，当0＜b＜1时，n是负数。

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