拓扑学：莫比乌斯带与克莱因瓶
2010-12-11 21:12阅读：
几天里，除了写作业就是上课，实在是无聊，上网转了转，看到了个克莱因瓶的东西，觉得挺好玩的，就发上来给大家看看。
要想说克莱因瓶就得先说说莫比乌斯带。
数学上流
传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种
颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂
抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家麦比乌斯
对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻
松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。 一片片肥大的玉 米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由
自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的 方向对接成
一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。
麦比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样 就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结
果，小甲虫不翻越任何边 界就爬遍了圆圈儿的所有部分。麦比乌斯激动地说：
“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。
”
麦比乌斯圈就这样被发现了。奇妙的莫比乌斯带 做几个简单的实验，就会发现
“麦比乌斯圈
”有许多让我们惊奇有趣的结果。你弄好一个圈
,粘好
,绕一圈后可以 发现
,另一个面的入口被堵住了
,原理就是这样啊
.
莫比乌斯环有如下三个特征：
一、莫比乌斯环只存在一个面。
二、如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两
个面的环（在本文中将之编号为：环
0），而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环。
三、如果再沿着环
0的中间剪开，将会形成两个与环
0空间一样的、具有正反两个面的环，且这两个
环是相互套在一起的（在本文中将之编号为：环
1和环
2），从此以后再沿着环
1和环
2以及因沿着环
1和环
2中间剪开所生成的所有环的中间剪开，都将会形成两 个与环
0空间一样的、具有正反两个面的环，永无止境
……且所生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在。
如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就得到了一个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话
就不得不把纸撕破一点）。同样地，如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所
知的“８字形”克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面——克莱因瓶。
实际上，可以说克莱因瓶是一个三度的莫比乌斯带。我们知道，在平面上画一个圆，再在圆内放一样东西，假如在二度空间中将它拿出来，就不得不越过圆周。但在
三度空间中，很容易不越过圆周就将其拿出来，放到圆外。将物体的轨迹连同原来的圆投影到二度空间中，就是一个“二维克莱因瓶”，即莫比乌斯带（这里的莫比
乌斯带是指拓扑意义上的莫比乌斯带）。再设想一下，在我们的三度空间中，不可能在不打破蛋壳的前提下从鸡蛋中取出蛋黄，但在四度空间里却可以。将蛋黄的轨
迹连同蛋壳投影在三度空间中，必然可以看到一个克莱因瓶。
附：克莱因瓶在三维空间中是破裂的，最少要有一个裂缝，如果有两个裂缝的话，它必然是两条部分相和连的莫
比乌斯带，同样n条莫比乌斯带也可以组合
成一个有 n个
裂缝克莱因瓶
在
1882年，著名
数学家菲立克斯
·克
莱因
(Felix
Klein)发现了后来以他的名字命 名的著名
'瓶子
'。这是一个象球面那样 封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它 却只有一个面。在图片上我们看到，克莱
因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶 底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了 瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如
果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相 连的话，我们就会得到一个轮胎面。
我们可以说一个球有两个面
--外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行，那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一
样，有内外表面之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在
'瓶外
'的蚂蚁，可以轻松地通过瓶颈而爬到
'瓶内
'去
--事实上克莱因瓶并无内外之
分！在数学上，我们称克莱因瓶是一个不可定向的二维紧致流型，而球面或轮胎面是可定向的二维紧致流型。如果我们观察克莱因瓶的
图片，有一点似乎令人困惑
--克莱因瓶的瓶颈和瓶身是相交的，换句话说，瓶颈上的某些点和瓶壁上的某些点占据了三维空间中的同一个位置。但是事实却非如
此。事实是：克莱因瓶是一个在四维空间中才可能真正表现出来的曲面，如果我们一定要把它表现在我们生活的三维空间中，我们只好将就点，只好把它表现得似乎
是自己和自己相交一样。事实上，克莱因瓶的瓶颈是穿过了第四维空间再和瓶底圈连起来的，并不穿过瓶壁。这是怎么回事呢？
我们用扭节来 打比方。看底下这个图形，如果我们把它看作平面
上的曲线的话，那么它似乎自身相交，再一看似乎又断成了三截。但其实很容易明白，这个图形其实是三维空间中的曲线，它并不和自己相交，而且是连续不断的一
条曲线。在平面上一条曲线自然做不到这样，但是如果有第三维的话，它就可以穿过第三维来避开和自己相交。只是因为我们要把它画在二维平面上时，只好将就一
点，把它画成相交或者断裂了的样子。克莱因瓶也一样，这是一个事实上处于四维空间中的曲面。在我们这个三维空间中，即使是最高明的能工巧匠，也不得不把它
做成自身相交的模样；就好象最高明的画家，在纸上画扭结的时候也不得不把它们画成自身相交的模样。
大家大概都知道莫比乌斯带。你可以把一条纸带的一段扭
180度，再和另一端粘起来来得到一条莫比乌斯带的模型。这也是一个只有一
莫比乌斯带个面的曲面，但是和球面、轮胎面和克莱因瓶不同的是，它有边（注意，它只有一条边）。如果我们把两条莫比乌斯带沿着它们唯一的边粘合起来，你就
得到了一个克莱因瓶（当然不要忘了，我们必须在四维空间中才能真正有可能完成这个粘合，否则的话就不得不把纸撕破一点）。同样地，如果把一个克莱因瓶适当
地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带 除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的
'８字形
'克莱因瓶。它看起来和上面的曲面完全不同，但是在四维空间中它们其实就是同一个曲面
--克莱因瓶。
