分离变量法求解有界弦自由振动的混合问题
2010-05-21 22:45阅读：
分离变量法求解有界弦自由振动的混合问题遵循以下步骤：
一、分离变量
将U(x,t)=X(x)T(t)代入自由振动方程得到x(x)和T(t)分别满足的二阶常微分方程；不顾初始条件，先要求U(x,t)满足边界条件（两固定端的位移为零），可得到x(x)必须满足的边界条件。
这里需要注意的是U(x,t)=X(x)T(t)代入的是齐次方程和齐次边界条件！
二、解常微分方程的边值问题，求固有值λ
求解X(x,t)满足的二阶常微分方程的通解得Xn=Acoskx+Bsinkx,由边界条件可确定k的值nπ/l，以及通解X的简化形式Bsin（nπx/l）.其中保证常微分方程有非零解的λn=（nπ/l）2称为固有值，而Bsin（nπx/l）称为固有函数
然后把λn=（nπ/l）2代入确定T的常微分方程，即求得相应的函数Tn(t)=Cncos(an
πt/l)+Dnsin(anπt/l)
从而得到一族分离变量的特解：
Un(x,t)=Xn(x)Tn(t)=
[Cncos(anπt/l)+Dnsin(anπt/l)]sin（nπx/l）
三、特解Un(x,t)的叠加
虽然每一个n对应的特解Un(x,t)都是原有界限自由振动方程的解，但是它们单独符合初始条件一般是办不到的，而把所有的特解叠加到一起却有可能通过选择适当的系数使之符合初始条件。
四、确定系数Cn和Dn
由∑Un(x,t)必须满足的初始条件可得到以Cn和Dn为系数的关于初始位移和初始速度的正弦表达式。由正弦展开的系数公式就可以求得Cn和Dn.于是就可以确定Un(x,t)的精确表达式。
有界和无界弦自由振动的比较：无界弦自由振动问题的解可以用d'Alembert公式进行表示，但是有界弦自由振动的混合问题通过奇延拓，再周期延托至负无穷到正无穷，可成为一个无界弦振动问题，因此，其位移也可以用d'Alembert公式进行表示
有界弦自由振动解的物理意义是：Un(x,t)是由一系列频率不同、位相不同、振幅不同的驻波的叠加。
