206@365好题的光芒：生活化、链条化、综合化——2023年河北省中考数学试题24题分析
2023-07-31 12:39阅读：
好题的光芒：生活化、链条化、综合化
——2023年河北省中考数学试题24题分析
河北省高碑店市第二中学
苑捷
波利亚说，“数学是思维的体操”。数学体操的含义，用数学的眼光观察、用数学的头脑思考，表示生活世界或者数学世界的空间形式、数量关系。活动只是表象，最终目的是发展思维。2023年河北省中考数学试题24题，以“圆”为背景，生活与数学相融合、活动与问题相统一、问题串的深度与广度相结合、空间形式与数量关系相整合，貌似普通却有着新意、貌似无意却有着厚度：自然而有滋味的好题。
一、试题再现【见附图1】
二、试题分析
1.以教材为蓝本。教材是教师和学生最熟悉的读本，立足学习的“根”来命题，亲切而自然。对称性和计算是圆教学的两翼。24题恰恰围绕着教学重点展开。北师大版数学九年级下册第75页的例题【见附图2】“求圆的半径”，图形元素以
及解决方法与24题第（1）问大同小异；第107页，单元复习27题【见附图3】“求弧长以及某些线段的长度”，研究方法与24题基本相同。以教材为本，于考生而言，“背景相同”意味着素材公平。
2.以课标为依据。《课程标准》体现了教和学的要求，也是考试的重要依据。作为评价的重要环节，以课标为依据来命题，考试才科学而有效。即便末梢和细节24题都清晰映射出了《标准》的力度。第（1）问,“求弦心距”，标准的要求“探索并证明垂径定理，垂直于弦的直径平分弦”，属于理解层面；第（2）问，“再求弦心距”，《标准》的要求“掌握切线的概念”，属于高阶层面；第（3）问，“求弧长、线段长度”，《标准》的要求“会计算圆的弧长、能用锐角三角函数解直角三角形能用相关知识解决一些简单的实际问题”，“能”和“掌握”的要求是等价的。以课标为依据，杜绝了盲目和主观，“从标准出发”意味着对科学的尊重。
3.以生活为背景。“问渠哪得清如许，为有源头活水来”，生活就是数学的鲜活源头。素材取于生活，意在“数学化”，用数学的眼光观察生活，用数学的角度解释生活。24题第（1）问，“装有少量水的水槽横置在水平台上”，其截面“圆形、圆形内部的弓形、圆形中的一条弦”，熟悉的图形、基本的元素；第（2）问，“水槽向右滚动”，新的截面“图形位置进行细微改变、条件进行再处理”，图形变换是研究数学的重要手段、直角三角形和圆是重要的几何图形。“生活中有数学、数学引领的生活”。有用的知识才有价值，生活与数学相融合，感觉知识有用就会产生学习兴趣。“兴趣是最好的老师”，“知之者不若好之者，好之者不若乐之者”，以生活为背景，以非智力因素立意，试题凸显着对应用意识的重视。
4.以问题解决为链条。数学是数学活动的教学。课程标准提出了四能，即在活动中发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，统称问题解决能力。24题，“装有部分水的水槽做横截面”，弓形中所包含的弦MN长度固定，于是提出问题“弦心距CO的长度变化吗？”如果不变求之，这是问题的初步发现阶段；水槽发生变化，横断面因而改变“直径由水平到倾斜角为30度”，再次提出问题，“水面高度变化吗？”如果变化求值，这是问题的进一步解决阶段；“半圆中点Q，构造线段EF和弧
EQ”，一曲一直比较大小，这是问题解决的高级阶段。发现、提出、分析、解决，一连串动作属于组合拳，步步为营，步步深入，一气呵成。“学贵有疑，疑则有进”。问题是数学的心脏，问题解决是思维发展的有力渠道。以问题为链条，以问题解决为导向，体现了“学数学就是学问之学”的理念。
5.以综合为抓手。新《课程标准》提出了项目式学习，“问题是否是现实的，是否是跨学科的，是否注重问题解决，是否注重数学表达”。项目式学习就是要拓宽数学学习视角，延展数学学习视野，达成数学学习的综合化。24题在考查综合化方面做出了有益尝试。“装有部分水的水槽及其滚动”属于生活现实的问题；三角函数、圆、勾股定理、无理数的比较，属于数学学科各分支的综合；水槽的静止或滚动，发现其中数学元素“弦心距以及弓形高”的变化，进而水面高度的变化，构造特殊点、特殊线段，特殊曲线段并比较大小，问题串代表了问题解决的系统化；问题解决过程中，由条件到问题，由浅表到深入，模型由单一到复杂，属于数学语言对问题的表达。钱学森之问，创新呼喊综合，人才需要广视角。在大领域、大手笔中发现、运用、表达，数学学习才会成为发自内心的需要。重视综合，重视问题成串，预示着”走出去“的数学学习新思路。
三、解决策略
以圆为背景，24题突出了数学的思考。自然语言、符号语言、图形语言交替使用，圆、三角形、三角函数一齐发力，几何推理、代数运算都是为问题解决的工具，目标指向强烈。试题不断变换出新角度、创生出新问题。集空间形式、数量关系于一体，试题层感鲜明，新颖不俗。
第（1）问，典型的垂径定理基本图形。垂径定理是需要构造直角三角形的。连接ON,在RT
ONC中，半径已知，CN可由MN得出，应用勾股定理弦心距OC可以求得。
第（2）问，入手点在于切线。由切线而得直角，因而可以得到OND是一个含有30度角的直角三角形。或者应用30度角的性质,或者应用三角函数弦心距OD可求。而，弦心距的变化也就是水面高度的变化。
第（3）问，EF居于RTOEF中，挖掘∠EOF,由点Q就是半圆的中点,“弧等则圆心角相等”，可得∠AOF、∠BOF都是90度，结合典型的“双垂”基本图形，30o浮出水面。运用三角函数和弧长公式，线段FE、弧EQ的长度不难得解。无理数比较大小，撇开相同部分，根号3/3大于0.5、π/12只比1/3稍大一点，比较长度“线段FE＞弧EQ”。此外，问题中的特殊图形亮点频频，比如OBM是底角为30度的等腰三角形、ODM是还有30度角的特殊直角三角形、OEM是等边三角形,这也为问题解决提供了多个角度。
常规问题、常见图形、常用定理、常见方法再加上多个解题视角，问题不偏、不难、不怪却做到了推陈出新“情境变换、思维深入、角度展开”，说成“拍案”绝不为过。
四、解答失误
1.逻辑意识淡薄。比如第（1）问求NC,直接得到“CN=MC=24”，不见任何理由,不见任何条件,“直接得出”。“由已知条件入手,有理有据”成了空话；
2.忽略条件。比如第（3）问，“Q是半圆的中点”，此乃先决条件，得到∠EOF等于30O的必由之路。此问空白的不在少数。原因，“条件遭忽视”只能盲目继续或者干脆搁笔；
3.知识漏洞。第（3）问设置了“无理数的比较”，需要用到估算。然而，解答中“直接给出答案的”不在少数，具有“估算过程的”寥寥无几。胡乱猜测应该是主流；
4.基本技能缺失。第（2）问，计算OD大小，“为半径OB的一半”。写成25/2就够了，写作小数也可以，结果却成了“12.25”。倘若偶然的失误，完全不必大惊小怪。问题在于，怪现象的“见怪不怪”由不得不唏嘘。
五、教学启示
1.要持之以恒抓基础。逻辑混乱和技能缺失意味着基础欠扎实。基础不牢则地动山摇。四则运算、解方程、尺规作图、演绎推理等基础和重点内容必须做到大面积过关。基础夯实了，质量的全面提升才不至落空。
2.要持之以恒做变式。变式训练和一题多解是我们的传统优势。教材才是命题的范本。紧紧从教材出发，拓展与拓宽，变换角度进行训练、拓宽视角分析不同策略，教学才能“百花齐放百家争鸣”。课堂活了，教学才不至演变为刷题。
3.要持之以恒搞活动。精选素材，用数学的角度抽象、推导、表达，形成活动的数学特色；设计问题，成串、成系列、成梯度，分析、解决一条龙；回顾反思，梳理问题解决的轨迹、总结各个问题的联系、概括解决思路以及抓手；激发兴趣，用兴趣作为高效学习的密码，观察、猜测，验证、运用、拓宽，符合不同学生的不同需要。活动成为主节奏，催生活力和热情，课堂气氛才能远离呆板。
4.持之以恒创情境。“创设情境——建立模型——应用拓展”，数学教学的三部曲。因为有情境，所以有热情。因为有热情，所以促情境。深化资源意识，挖掘“社区的、学校的、生活的”资源为教学所用，让生活问题数学化落地生根。有用的、有价值的知识最有力量。激活学习内驱动力，情境教学应该先行。融入情景“有画面感和带动感”，课堂才不是成为教师的独角戏。
评价的目的，掌握教学情况、调整教学策略。因而，命题的方向引领着教学的方向。纵观2023年中考试题：难度在普遍降低，亮点却在普遍提高。难度降低了，意味着我们的教学要往实里和细里努力。新颖度提高了，意味着我们的观念要更新、意识要增强，看重核心素养、重视典型资源的放大。
2023年河北省中考数学24题，常规问题做出了不常规的探索。“常规入手、情境转移、思维跟进、落实基础”，于无声处有声、在平常处闪光，好题值得点赞。
【附图1】
【附图2.3】
（转自：http://blog.sina.com.cn/u/5978732327）
