矩阵的作用对象是线性空间中的向量，如果忽略了作用对象，纯粹讨论矩阵的运算规则，将是十分抽象的。以平面中一个向量为例，某一个2阶矩阵作用在此向量的结果，是对该向量进行旋转、拉伸或压缩操作。
线性代数的教科书中，围绕线性方程组的求解引入矩阵，然后定义了一系列矩阵的基本运算，如数乘、乘法，接着进一步讨论矩阵的性质，涉及逆矩阵、转置矩阵、伴随矩阵。然而这些数学的讨论始终缺乏一个清晰可见的图像，由此理解的也不深刻。
如果从群论的角度引入矩阵，则可以变得非常明晰。群论在给出群的定义后，开始分解群，如引入子群和陪集，在此基础上，考察两个群的关系，引入同构和同态等概念，对应于代数中的相等和从属于。
设想，假使对于任一个具体的群，如正三角形转动群D3，在线性空间中都可以找到一个矩阵群，与给定的群同构，则通过研究矩阵群，便可知所有同构的具体群的性质。引入矩阵群的好处在于：1矩阵的乘法是已知的2矩阵的求逆也知道。
群的表示理论则存在如下逻辑
任意的一个群——》线性空间中与之同构的矩阵群——》U矩阵
（只有U矩阵才能保持等距变换）
给定线性空间V，定义一个映射A：V——》V，对空间中某一向量x作变换，得到的x'仍是空间V中的向量。
先定义基矢e1,e2,e3...en，则V空间的任一向量都可表示成一个有序数组{x1,x2,x3..xn}，数组中x1,x2..xn代表向量x在各个基矢方向上的投影。线性变换A（x）=x' 在（e1,e2..en）可以用一个矩阵表示。
线性代数的教科书中，围绕线性方程组的求解引入矩阵，然后定义了一系列矩阵的基本运算，如数乘、乘法，接着进一步讨论矩阵的性质，涉及逆矩阵、转置矩阵、伴随矩阵。然而这些数学的讨论始终缺乏一个清晰可见的图像，由此理解的也不深刻。
如果从群论的角度引入矩阵，则可以变得非常明晰。群论在给出群的定义后，开始分解群，如引入子群和陪集，在此基础上，考察两个群的关系，引入同构和同态等概念，对应于代数中的相等和从属于。
设想，假使对于任一个具体的群，如正三角形转动群D3，在线性空间中都可以找到一个矩阵群，与给定的群同构，则通过研究矩阵群，便可知所有同构的具体群的性质。引入矩阵群的好处在于：1矩阵的乘法是已知的2矩阵的求逆也知道。
群的表示理论则存在如下逻辑
任意的一个群——》线性空间中与之同构的矩阵群——》U矩阵
（只有U矩阵才能保持等距变换）
给定线性空间V，定义一个映射A：V——》V，对空间中某一向量x作变换，得到的x'仍是空间V中的向量。
先定义基矢e1,e2,e3...en，则V空间的任一向量都可表示成一个有序数组{x1,x2,x3..xn}，数组中x1,x2..xn代表向量x在各个基矢方向上的投影。线性变换A（x）=x' 在（e1,e2..en）可以用一个矩阵表示。