前些天去听了一个关于数系的讲座，说到了数系的扩充，听得我心情澎湃，回来之后居然忘记听到了什么……只好自己重新推算一遍。当时讲座说到了哈密顿（Hamilton，19世纪数学家）的工作。他曾经整天琢磨怎样才能设置出一个能进行四则运算、模法则、以及各运算律等已有数系应有的基本性质的新数系。由于已有的数系最高是复数系C，也就是二元数，他自然是想到了三元数。遗憾摆弄多日无果，却被他偶然一天弄出了四元数。
四元数（哈密顿数H）是一个很有意思的话题，待有机会我弄懂了会回来聊聊它的。今天不聊四元数，聊聊三元数——它为何不能在简单的条件下成立。
我所指的简单条件是，它需满足四则运算，和拥有其应有的运算律。当然，仅从模法则看，也能证出它不符数运算律。但我还是按捺不住想谈谈自己刚搞出来的证法（讲座听来的证法忘记了，要不更为简洁）
如果有三元数A，它必须能写成这样的形式：
其中 i 是虚数单位，a、b、c是实数。当 c=0 的时候，它就退化成二维的复数。因此看得出，复数集是它的一个真子集，复数的一切运算律，在此应也可以通用（实数更是可以了）。
只要定义出 j 是什么东西，符合什么运算律，就可以“投入使用”了。
给出任意两个三元数A1、A2，它们形如
四元数（哈密顿数H）是一个很有意思的话题，待有机会我弄懂了会回来聊聊它的。今天不聊四元数，聊聊三元数——它为何不能在简单的条件下成立。
我所指的简单条件是，它需满足四则运算，和拥有其应有的运算律。当然，仅从模法则看，也能证出它不符数运算律。但我还是按捺不住想谈谈自己刚搞出来的证法（讲座听来的证法忘记了，要不更为简洁）
如果有三元数A，它必须能写成这样的形式：
其中 i 是虚数单位，a、b、c是实数。当 c=0 的时候，它就退化成二维的复数。因此看得出，复数集是它的一个真子集，复数的一切运算律，在此应也可以通用（实数更是可以了）。
只要定义出 j 是什么东西，符合什么运算律，就可以“投入使用”了。
给出任意两个三元数A1、A2，它们形如