人大附中-初一学生作业-绝对值中最值问题三
2013-09-28 16:06阅读：
【例题1】：求|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x的值？
分析：先回顾化简代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的过程
可令x+11=0，x-12=0，x+13=0
得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
1）
当x<-13时，x+11<0，x-12<0，x+13<0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-12
2）
当
x=-13时，x+11=-2，x-12=-25，x+13=0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=40
3）
当-13<x<-11时，x+11<0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12+x+13=-x+14
4）
当x=-11时，x+11=0，x-12=-23，x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=25
5）
当-11<x<12时，x+11>0，x-12<0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+36
6）
当x=12时，，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=48
7）
当x>12时，x+11>0，x-12>0，x+13>0，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12
可知：
当x<-13时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27
当x=-13时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=40
当-13<x<-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14
,25<-x+14 <27
当x=-11时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=25
当-11<x<12时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 ,
25<x+36<48
当x=12时
|x+11|+|x-12|+|x+13|=
48
当x>12时，
|x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48
观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25，此时x=-11
解：可令x+11=0，x-12=0，x+13=0
得x=-11，x=12，x=-13（-13，-11,12是本题零点值）
将-11,12，-13从小到大排列为-13<-11<12
可知-11处于-13和12之间，所以当x=-11时，|x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是25
评：先求零点值，把零点值大小排列，处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。
例题4：求代数式|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值
分析:回顾化简过程如下
令x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0
则零点值为x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4
(1)当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
（2）当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
(3)当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
（4)当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
（5)当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10
根据x的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x的范围或者取值
解：根据绝对值的化简过程可以得出
当x＜1时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10
＞6
当1≤x＜2时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8
4＜2x+8≤6
当2≤x＜3时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4
当3≤x＜4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2
4＜2x-2
＜6
当x≥4时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10≥6
则可以发现代数式的最小值是4，相应的x取值范围是2≤x≤3
归档总结：
若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值
若含有偶数个绝对值，处于中间2个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值
类似习题：求|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值，并求出此时x的值，并确定此时x的值或者范围？
相关习题连接
含有绝对值的代数式求最值问题一：http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_673b31580101h3dd.html?vt=4
1）|x+a|有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
2）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
3) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x值是多少？
含有绝对值的代数式求最值问题二 ：
http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_673b31580101h3dn.html?vt=4
求|x+1|+|x-2|的最小值，并求出此时x的取值范围
很有绝对值的代数式的最小值问题http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_673b31580101hc09.html?vt=4
