| 1 引言 众所周知，高斯投影为保角投影，即投影后角度不产生变形，但其长度则会变形，而且离开中央子午线越远，长度变形会越大。为了限制高斯投影的长度变形，就采用了分带投影的方法。分带投影的结果使得各带独自建立了平面直角坐标系，从而产生各相邻带之间控制点坐标互相联系的问题。欲解决这一问题，就需要把一个带的平面直角坐标换算到相邻的另一个带上，称为坐标换带。 2 高斯克吕格投影的邻带坐标变换 2.1 产生换带的原因 高斯投影为了限制高斯投影的长度变形，以中央子午线进行分带，把投影范围限制在中央子午线东、西两侧一定的范围内。因而，使得统一的坐标系分割成各带的独立坐标系。在工程应用中，往往要用到相邻带中的点坐标，有时工程测量中要求采用3°带、1.5°带或任意带，而国家控制点通常只有6°带坐标，这时就产生了6°带同3°带（或1.5°带、任意带）之间的相互坐标换算问题，如下图所示： 2.2 坐标的换带计算 （1）间接换算法 间接换算法是已知第一带的高斯克吕格坐标xf、yf，按高斯克吕格投影反解公式求其大地坐标B、L ，根据求得的大地坐标值，计算以第二带中央经线为准的高斯克吕格坐标x′、y′。 间接换带法的计算步骤如下： （i）设P点在第一带的平面坐标为xf、yf，中央子午线的经度为L0。取x=xf代入下式计算底点纬度Bf之值： 对于克拉索夫斯基椭球： |
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我国解放以来采用了克氏椭球，并把原苏联的坐标原点传算过来的北京地区——大地点的坐标，作为我国的大地测算起算数据。克氏椭球与我国的实际有较大的差距，也与现今公布的椭球有较大偏差。因此我国已另建了1980年国家大地坐标系，采用“IAC－75”国际椭球，大地原点设在西安。对于国际椭球
式中X均以 km为单位，Bf的单位为度。
（ii）根据P点yp和Bf按坐标反算公式计算出P点的B、L值。
式中 n=
tf=tgBf
C称为极曲率半径，e′称为第二偏心率。
对于克氏椭球
C＝6399698.90178271m
= 0.0067385254147
对于“IAC－75”国际椭球
C＝6399596.65198801m
= 0.0067395018195
（iii）根据P点的大地纬度B计算赤道至纬度B的子午弧长X之值：
对于克氏椭球：
对于“IAC－75”国际椭球：
（iv）根据P点的大地纬度B和其经度L与第二带中央子午线经度 之差以及子午弧长X，按坐标正算公式计算P点在第二带的平面坐标x′、y′。
子午线收敛角
式中
为了检核，可由计算出的点在第二带的平面坐标x′、y′及第二带中央子午线的经度 反求在第一带的平面坐标x、y 与已知值作检核。
采用上述公式进行坐标换算，平面坐标可精确至毫米。
（2）直接换算法
直接换算法是通过导出某点分属于两相邻带坐标之间的关系式，利用专门算表，就可直接根据点在第一带的坐标计算出它在邻带的坐标。本文介绍采用现行的《六度带（三度带）高斯克吕格坐标换带表》进行换带计算的方法。
高斯克吕格投影换带系数表是由六度带高斯克吕格换带系数表和三度高斯克吕格换带系数表两部分组成的。其中三度高斯克吕格换带系数表也适用于六度带到三度带，或三度带到六度带的变换。
该表的各系数值是按数值法换带程序计算的，它适用于大量点的换算，其换算精度达到1mm，在最不利情况下个别点达1.5mm，这完全满足换带中高精度的要求。
坐标换带的基本公式（2.2-1）为：
或者（2.2-2）
式中：x1、y1——换带前的坐标值；
x2、y2——换带后的坐标值，当由西带换至东带时，式中y2前面取“－”号；当由东带换至西带时，则取“＋”号。
式中y0恒为正值，当由西带换至东带时，y1前取“＋”号，反之取“－”号，并注意y1有其原有的正负号。
y0、m、m1、m2、n、n1、n2、δx、δy、σx、σy等称为换带系数，均可在换带表中查取。查表时，可先以x1为引数查取略小于x1的表值x0，然后以x0为引数查取前7个换带系数；后4个换带系数则以x0及Δy1为引数查取。
3度带换带当Δy1>80km和6度带换带当Δy1>60km时，应采用式（2.2-2）计算，以保证计算精度达到1mm。
坐标换带表分别为3度带和6度带换带表，两者所用的公式、原理及查表方法完全相同，所不同处只是制表时所用的经度差一为3°，一为1.5°。
坐标
式中X均以 km为单位，Bf的单位为度。
（ii）根据P点yp和Bf按坐标反算公式计算出P点的B、L值。
式中 n=
tf=tgBf
C称为极曲率半径，e′称为第二偏心率。
对于克氏椭球
C＝6399698.90178271m
= 0.0067385254147
对于“IAC－75”国际椭球
C＝6399596.65198801m
= 0.0067395018195
（iii）根据P点的大地纬度B计算赤道至纬度B的子午弧长X之值：
对于克氏椭球：
对于“IAC－75”国际椭球：
（iv）根据P点的大地纬度B和其经度L与第二带中央子午线经度 之差以及子午弧长X，按坐标正算公式计算P点在第二带的平面坐标x′、y′。
子午线收敛角
式中
为了检核，可由计算出的点在第二带的平面坐标x′、y′及第二带中央子午线的经度 反求在第一带的平面坐标x、y 与已知值作检核。
采用上述公式进行坐标换算，平面坐标可精确至毫米。
（2）直接换算法
直接换算法是通过导出某点分属于两相邻带坐标之间的关系式，利用专门算表，就可直接根据点在第一带的坐标计算出它在邻带的坐标。本文介绍采用现行的《六度带（三度带）高斯克吕格坐标换带表》进行换带计算的方法。
高斯克吕格投影换带系数表是由六度带高斯克吕格换带系数表和三度高斯克吕格换带系数表两部分组成的。其中三度高斯克吕格换带系数表也适用于六度带到三度带，或三度带到六度带的变换。
该表的各系数值是按数值法换带程序计算的，它适用于大量点的换算，其换算精度达到1mm，在最不利情况下个别点达1.5mm，这完全满足换带中高精度的要求。
坐标换带的基本公式（2.2-1）为：
或者（2.2-2）
式中：x1、y1——换带前的坐标值；
x2、y2——换带后的坐标值，当由西带换至东带时，式中y2前面取“－”号；当由东带换至西带时，则取“＋”号。
式中y0恒为正值，当由西带换至东带时，y1前取“＋”号，反之取“－”号，并注意y1有其原有的正负号。
y0、m、m1、m2、n、n1、n2、δx、δy、σx、σy等称为换带系数，均可在换带表中查取。查表时，可先以x1为引数查取略小于x1的表值x0，然后以x0为引数查取前7个换带系数；后4个换带系数则以x0及Δy1为引数查取。
3度带换带当Δy1>80km和6度带换带当Δy1>60km时，应采用式（2.2-2）计算，以保证计算精度达到1mm。
坐标换带表分别为3度带和6度带换带表，两者所用的公式、原理及查表方法完全相同，所不同处只是制表时所用的经度差一为3°，一为1.5°。
坐标