皮亚诺公理（Giuseppe Peano） 哥德尔的第二个结论更叫人吃惊和更具革命性

直到1899年基数算术的公理化工作才由意大利数学家皮亚诺（Giuseppe Peano）完成。他的公理有五条。这些公理是借助于三个未定义但假设为已知的词而构建起来的。这三个词是：“数”，“零”，以及“直接后继”。皮亚诺公理可条列如下：
1. 零是一个数。
2. 一个数的直接后继也是个数。
3. 零不是一个数的直接后继。
4. 不会有两个数有同一个直接后继。
5. 如零有某种性质，并且有此性质的数的直接后继也有这个性质，则所有的数都有此性质。
最后一条公理就是我们常说的“数学归纳法”。

哥德尔的第二个结论更叫人吃惊和更具革命性，因为它表明公理方法的能力有着根本的局限。哥德尔证明了，《数学原理》或任何其它能在其中发展出算术的系统，实质上是不完全的。换句话说，在任何一致的数论形式系统中，都存在此系统无法推导出的真的数论命题。这个极为重要的论点值得进一步说明。数学中有着大量的一般性命题，迄今无例外地挫败了所有对之进行证明的努力。一个经典例子是所谓“哥德巴赫猜想”，它声称所有（大于2的）偶数都是两个素数之和。迄今没有人发现不是两个素数之和的偶数，但也没有人成功地找到证明哥德巴赫猜想毫无例外地适用于所有偶数的方法。这个例子表明，某个算术命题可能是真的，但是从形式化数论的公理中（可能）是导不出来的。现在假设哥德巴赫猜想确实普遍为真，但无法从（现有）公理中推导出来。那么如果将公理和推导规则进行修订或者扩大，以便使原来无法证明的命题（如哥德巴赫猜想）在扩大的形式系统中可以推导出来，会怎么样呢？哥德尔的结论表明，即使能够做到上面这一点，这种作法仍然无法从根本上解决问题。不管《数学原理》是否用一定数量的新公理和规则加以扩充，在这个扩充后的系统中总还是会有新的算术真理是形式不可导的。