利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理（转）
2015-12-11 21:22阅读：
椭圆是生活中常见的图形，是圆锥曲线中重要的一种。如果用一平面去截一个正圆锥，所得截口曲线是椭圆吗？还有其他情况吗？如何证明？
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定理
在空间中，取直线AD为轴，直线AB与AD相交于A点，其夹角为α，围绕AD旋转得到以A为顶点,AB为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴交角为β（π与AB平行，记作β＝0），则：
（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；
（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。
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利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的下方，并且与平面π及圆锥均相切）
证明：
1.β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；
2.点M 到点F2 的距离与点M
到直线m的距离比是小于1的常数.（称点F2为这个椭圆的焦点，直线
m为椭圆的准线，常数为离心率
e.）
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证明1：
利用切线长相等得
MF1=MP，MF2=MQ，所以MF1+MF2=MP+MQ=PQ=定值.
证明2：
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类似地可以探究双曲线的准线和离心率。
相关阅读知识：
圆锥截线，是一个平面截正圆锥面而得到的曲线．
设圆锥轴截面母线与轴的夹角为α，截面和圆锥的轴的夹角为θ．
当截面不过顶点时，
（1）当θ＝α时，即截面和一条母线平行时，交线是抛物线；
（2）当α＜θ ＜π/2
时，即截面不和母线平行，且只和圆锥面的一叶相交时，交线是椭圆．特别地，当
θ＝，即截面和圆锥面的轴垂直时，交线是圆．
（3）当0≤θ＜α时，即截面不与母线平行，且和圆锥面的两叶都相交时，交线是双曲线．
当截面过顶点时，
（1）当θ＝α时，截面和圆锥面相切，交线退化为两条重合直线．
（2）当α＜θ≤π/2
时，截面和圆锥面只相交于顶点，交线退化为一个点．
（3）当0≤θ＜α时，截面和圆锥面相交于两条母线，交线退化为两条相交直线．
前一类情况中，抛物线、椭圆（包含圆）和双曲线这三种曲线叫做非退化的圆锥曲线．有时，也把抛物线、椭圆和双曲线统称为圆锥曲线．后一类情况，交线是一个点或两条直线（包括相交与重合），把它们叫做退化的圆锥曲线．
由于椭圆（包含圆）和双曲线都具有对称中心，所以椭圆（包含圆）和双曲线是有心圆锥曲线．而抛物线不具有对称中心，抛物线是无心圆锥曲线．
在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是二元二次方程，因此，圆锥曲线又叫二次曲线．
