摘自百度百科及维基百科：椭圆

2014-02-16 14:03阅读：

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历史：Apollonius 所著的八册《圆锥曲线》(Conics)集其大成，可以说是古希腊几何学一个登峰造极的精擘之作。今日大家熟知的 ellipse（椭圆）、parabola（抛物线）、hyperbola（双曲线）这些名词，都是 Apollonius 所发明的。当时对于这种既简朴又完美的曲线的研究，乃是纯粹从几何学的观点，研讨和圆密切相关的这种曲线；它们的几何乃是圆的几何的自然推广，在当年这是一种纯理念的探索，并不寄望也无从预期它们会真的在大自然的基本结构中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世纪之交，开普勒（Kepler）行星运行三定律的发现才知道行星绕太阳运行的轨道，乃是一种以太阳为其一焦点的椭圆。开普勒三定律乃是近代科学开天辟地的重大突破，它不但开创了天文学的新纪元，而且也是牛顿万有引力定律的根源所在。由此可见，圆锥截线不单单是几何学家所爱好的精简事物，它们也是大自然的基本规律中所自然选用的精要之一。

定义：在数学中，椭圆是平面上到两个固定点的距离之和是常数的轨迹

。这两个固定点叫做焦点。
根据该定义，可以用手绘椭圆：先准备一条线，将这条线的两端各绑在固定的点上（这两个点就当作是椭圆的两个焦点）；取一支笔，用笔尖将线绷紧，这时候两个点和笔就形成了一个三角形（的两边）；然后左右移动笔尖拉着线开始作图，持续地使线绷紧，最后就可以完成一个椭圆的图形了。

概述：椭圆是一种圆锥曲线：如果一个平面切截一个圆锥面，且不与它的底面相交，也不与它的底面平行，则圆锥和平面交截线是个椭圆。
在代数上说，椭圆是在笛卡尔平面上如下形式的方程所定义的曲线

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\,$

使得 $B^{2}<4AC\,$ ，这里的系数都是实数，并存在定义在椭圆上的点对 (x, y) 的多于一个的解。
穿过两焦点并终止于椭圆上的线段 AB 叫做长轴。长轴是通过连接椭圆上的两个点所能获得的最长线段。穿过中心（两焦点的连线的中点）垂直于长轴并且终止于椭圆的线段 CD 叫做短轴。半长轴（图中指示为 a）是长轴的一半：从中心通过一个焦点到椭圆的边缘的线段。类似的，半短轴（图中指示为 b）是短轴的一半。
如果两个焦点重合，则这个椭圆是圆；换句话说，圆是离心率为零的椭圆。
中心位于原点的椭圆 $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1\,$ 可以被看作单位圆在关联于对称矩阵 $A^{\prime }={\begin{bmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{bmatrix}}=PDP^{T}\,$ 的线性映射下的图像，这里的 D 是带有 $A^{\prime }$ 的特征值的对角矩阵，二者沿着主对角线都是正实数的，而 P 是拥有 $A^{\prime }$ 的特征向量作为纵列的实数的酉矩阵。椭圆的长短轴分别沿着 $A^{\prime }$ 的两个特征向量的方向，而两个与之对应的特征值分别是半长轴和半短轴的长度的平方的倒数。
椭圆可以通过对一个圆的所有点的 x 坐标乘以一个常数而不改变 y 坐标来生成。

离心率：椭圆的形状可以用叫做椭圆的离心率的一个数来表达，习惯上指示为 $\varepsilon \,$ 。离心率是小于 1 大于等于 0 的正数。离心率 0 表示着两个焦点重合而这个椭圆是圆。
对于有半长轴 a 和半短轴 b 的椭圆，离心率是

$\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}$ .

离心率越大，a 与 b 的比率就越大，因此椭圆被更加拉长。
半焦距c 等于从中心到任一焦点的距离，则

$\varepsilon ={\frac {c}{a}}$ .

距离 c 叫做椭圆的线性离心率。在两个焦点间的距离是 2aε。

在正规位置上的椭圆的参数方程。参数 t 是蓝线对于 X-轴的角度。
方程：中心位于点 $(h,k)$ 的主轴平行于 x 轴的椭圆由如下方程指定

${\frac {(x-h)^{{2}}}{a^{{2}}}}+{\frac {(y-k)^{{2}}}{b^{{2}}}}=1$ .

这个椭圆可以参数化表达为

$x=h+a\,\cos t,\,\!$

$y=k+b\,\sin t\,\!$

这里的 $t$ 可以限制于区间 $-\pi \leq t\leq \pi \,\!$ 。
如果 $h=0$ 且 $k=0$ （就是说，如果中心是原点(0,0))，则

椭圆方程	${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)$	${\frac {y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1(a>b>0)$
图像
范围	$-a\leq x\leq a,-b\leq y\leq b$	$-a\leq y\leq a,-b\leq x\leq b$

相对于中心的极坐标形式[编辑]

用极坐标可表达为

$r={\frac {ab}{{\sqrt {a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta }}}}={\frac {b}{{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}\cos ^{2}\theta }}}}$

这里的 $\varepsilon$ 是椭圆的离心率。

相对于焦点的极坐标形式[编辑]

椭圆的极坐标，原点在 F1
有一个焦点在原点的椭圆的极坐标方程是

$r={\frac {a\cdot (1-\varepsilon ^{{2}})}{1-\varepsilon \cdot \cos \theta }}$ .

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