哥德尔不可证命题的真假

2016-05-19 07:01阅读：

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本文也许能改变数学不可能完备的信念，表明数学家对多值、虚值命题认识不足，用二值命题的观念来证明不完全性定理是不全面的。证明了哥德尔不完全性定理中的不可证命题g是数论的悖论而不是真命题，且形式数论系统存在无数个悖论。本文应该是世界级顶尖数学基础课题，有一定的难度，读者需要具备元数学、数理逻辑知识，并对哥德尔不完全性定理及不可证命题有深刻理解，才可能看懂和理解本文。

哥德尔不可证命题的真假
李子李晓露
摘要 本文证明哥德尔不完全性定理中的不可证命题g是数论的悖论。证明了哥德尔不完全性定理的证明存在问题；介绍了第四次数学危机。重新认识、划分命题的种类后，建立一致且完备的二值命题公理系统并非不可能。指出数学的问题不是完备的问题，而是悖论的问题。
关键词 哥德尔不完全性定理不可证命题悖论
1.前言
由百度百科哥德尔不完全性定理可得：“哥德尔

是奥地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。这一理论使数学基础研究发生了划时代的变化，更是现代逻辑史上很重要的一座里程碑。该定理与塔尔斯基的形式语言的真理论，图灵机和判定问题，被赞誉为现代逻辑科学在哲学方面的三大成果。哥德尔证明了任何一个形式系统，只要包括了简单的初等数论描述，而且是自洽的，它必定包含某些系统内所允许的方法既不能证明真也不能证伪的命题。
哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完全性定理。
哥德尔不完全性定理一举粉碎了数学家两千年来的信念。他告诉我们，真与可证是两个概念。可证的一定是真的，但真的不一定可证。某种意义上，悖论的阴影将永远伴随着我们。无怪乎大数学家外尔发出这样的感叹：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。”
哥德尔不完全性定理的影响远远超出了数学的范围。它不仅使数学、逻辑学发生革命性的变化，引发了许多富有挑战性的问题，而且还涉及哲学、语言学和计算机科学，甚至宇宙学。2002年8月17日，著名宇宙学家霍金在北京举行的国际弦理论会议上发表了题为《哥德尔与M理论》的报告，认为建立一个单一的描述宇宙的大统一理论是不太可能的，这一推测也正是基于哥德尔不完全性定理。
有意思的是，在现今十分热门的人工智能领域，哥德尔不完全性定理是否适用也成为了人们议论的焦点。1961年，牛津大学的哲学家卢卡斯提出，根据哥德尔不完全性定理，机器不可能具有人的心智。他的观点激起了很多人反对。他们认为，哥德尔不完全性定理与机器有无心智其实没有关系，但哥德尔不完全性定理对人的限制，同样也适用于机器倒是事实。
哥德尔不完全性定理的影响如此之广泛，难怪哥德尔会被看作当代最有影响力的智慧巨人之一，受到人们的永恒怀念。美国《时代》杂志曾评选出20世纪100个最伟大的人物，在数学家中，排在第一的就是哥德尔”。
2.哥德尔不完全性定理[1] [2] [3] [4]
建立完备、一致的数学理论是数学家们的一个梦想。1931年哥德尔证明了著名的不完全性定理，它彻底粉碎了数学家的梦想。哥德尔不完全性定理的证明严谨而巧妙。
哥德尔第一不完全性定理：包含初等数论和一阶逻辑的形式系统N，如果N一致，则存在不可证数论符号命题g（g用自然语言表达即为g：“g在本系统不可证”），并且 g不可证。如果N是ω一致的，则¬g不可证。
哥德尔证明了如果g可证，则存在证明g的公式序列，由N的定理必然可证¬g，导致N不一致。因此，如果N一致，则g必然不可证，并且证明了如果N是ω一致，则¬g不可证。
他还用扩充公理g的办法证明了：在新系统N+g系统依然存在新系统不可证数论符号命题g’。 g’用自然语言表达即为：“我在本系统不可证”。即g’为：“我在N+g系统不可证”。
他用对角线法证明了N存在永远无法弥补的漏洞，即N不完备。即无论怎样扩充公理，都存在本系统不可证的数论符号命题。
后经罗塞简化为：任一以形式算术系统为子系统的形式系统，如果是一致的，则一定是不完备的[3]。
哥德尔第一不完全性定理表明，不可能建立一个完备且一致的数论理论。
哥德尔第一不完全性定理是对数论而言的。因不可证的数论符号命题有无穷多个，所以用扩充公理的方法不可能完备形式数论公理系统。
下面证明不可证的数论符号命题实质上是一个悖论，是虚值命题，而不是二值命题的真命题。将命题分类后，可以建立一致并且完备的二值命题论证公理系统。
3．一致和完备的形式数论公理系统A
数学命题的真假值目前没有数学判定理论。元数学只研究了公理系统的一致性、独立性和完备性，无真实性概念。
数学命题的真假一直没有判定方法。1936年数学家丘奇证明了：如果有一种判定真假数论命题的方法，引入形式数论系统，必导致该系统出现逻辑矛盾。这是显然的，如果有此方法，则可按照识别真命题的方法扩充数论真命题，建立完备的形式数论公理系统。哥德尔的第一不完全定理证明，如果形式数论公理系统一致，则不可能完备。这个矛盾表明要么不存在识别真命题的方法，要么形式数论公理系统是不一致的。遗憾的是本文证明结论是：形式数论公理系统是不一致的。
在《元数学与元物理学（4）》[5]给出三大法则，在事实上可判定所有二值命题的真假。
判定法则一:如果已知一命题p的内容与其相对应的事实相符，则判定p为真。
判定法则二:如果已知一命题p的内容与其相对应的事实不相符，则判定p为假。
判定法则三:如果p是真命题,则p的内容与事实必相符;如果p是假命题，则p的内容与事实必不相符。
哥德尔的第一不完全定理的不可证命题g，g的内容“我不可证”符合事实，因此，根据三大法则可得：g是真命题。g不可证又是数论的真命题，则N是不完备的。
既然我们有了判定命题真假的三大法则，则完全可以建立完备且一致的形式数论公理系统A，方法如下：
A公理系统是在罗素和怀特海的《数学原理》形式数论公理系统N基础上，增加判定命题真假的三大法则和两条推理规则：
推理规则1：将根据判定命题真假的三大法则识别后的不可证的真命题，扩充给形式数论公理系统N 。
推理规则2：将根据判定命题真假的三大法则识别后的假命题，从N的定理中删除。
有了这两条推理规则，就可以建立完备一致的形式数论公理系统A。根据2条推理规则可得：A的定理全部都是真命题。
定理3。1 A公理系统是完备的。
证明：因由推理规则1可得，所有能识别的数论真命题都可证，包括哥德尔的第一不完全定理的不可证命题g。根据哥德尔的证明g的内容“我不可证”符合事实，因此，根据三大法则可得：g是真命题。由推理规则1可得g是A的定理，所以，A公理系统是完备的。哥德尔的第一不完全定理在A公理系统不成立。
根据真值表可得：如果q真，则┓q必假；如果q假，则┓q必真。因此，根据推理规则1可得：q或┓q必然有一个是A公理系统的定理。对于二值命题而言，A公理系统是完备的。
本定理证毕。
定理3。2 A公理系统是一致的。
证明：用反证法。
假设A公理系统是不一致的，则A公理系统必可证命题q，并可证命题┓q。
根据真值表可得：如果q真，则┓q必假，因此，根据推理规则2可得：┓q必然不是A公理系统的定理。
根据判定命题真假的三大法则，如果命题q符合事实，则┓q必然与事实不符，根据判定命题真假的三大法则可得┓q是假命题，由推理规则2可得：┓q必然不是A公理系统的定理。
因此，A公理系统必然是一致的。本定理证毕。
定理3。1和定理3。2证明了哥德尔第一不完全性定理在A公理系统不成立。表明数学既能一致，又可以完备。
4．哥德尔不可证命题是一个悖论
根据哥德尔的第一不完全定理，如果A公理系统不可证数论符号命

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