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的一种，亦称“椭圆几何”。德国数学家黎曼，对空间与几何的概念作了深入的研究，于1854年发表《论作为几何学基础的假设》一文，创立了黎曼几何。
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
人们终于认识到存在一种不同于欧氏几何的新几何，称其为非欧几何。不久之后，德国的黎曼采用另一条新公理取代第五公设，创建了另一种非欧几何。黎曼的新公理认为，“过直线外的一点，一条平行线也得不出来”。数学界很快认识到这三种几何都是正确的，它们反映不同曲率空间的性质。人们把罗巴切夫斯基和鲍耶创建的几何称为罗氏几何，把黎曼创建的几何称为黎氏几何。欧氏几何是平直空间中的几何，黎氏几何是正曲率空间中的几何，罗氏几何则是负曲率空间中的几何。
1845年，黎曼在哥廷根大学发表了题为《论作为几何基础的假设》的就职演讲，标志着黎曼几何的诞生。黎曼把这三种几何统一起来，统称为黎曼几何，并用这一工作，在哥廷根大学的数学系作报告，谋求一个讲师的位置。
后经E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人进一步完善和拓广，成为A．Einstein创立广义相对论(1915年)的有力数学工具。此后黎曼几何得到了蓬勃发展，特别是E．Cartan，他建立的外微分形式和活动标架法，沟通了Lie群与黎曼几何的联系，为黎曼几何的深入发展开辟了广阔的前景，影响极为深远。近半个世纪来，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支(如代数拓扑学，偏微分方程，多复交函数论等)及现代物理学中有重要作用的结果。
黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的，在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：
曲率恒等于零；
曲率为负常数；
曲率为正常数．
黎曼指出：前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼的这第三种几何就是用命题“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“平行线”的存在，是另一种全新的非欧几何，这就是如今狭义意义下的黎曼几何，它是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。该文于黎曼去世两年后的1868年发表
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础。也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。”
以上是百度作者的观点，下文证明黎曼几何是不正确的。
2.欧几里得几何学[1]
欧几里得几何学的五条公设：
(1)从任何一点到另一点可以引一条直线。
(2)每条直线都可以无限延长。
(3)以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周。
(4)凡直角都相等。
(5)平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧。
3.非欧几何学的公设[1]
近2000年数学界用欧几里得几何学前四个公设证明第五公设的失败，使数学家相信第五公设是独立的。通过修改第五公设，诞生了罗氏几何和黎曼几何。
欧几里得几何学，若去掉第五公设，则是绝对几何。
在绝对几何基础上增加另一个第五公设：“过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交”。则是罗氏几何学。
黎曼几何修改了欧几里得几何学公设中的第二公设和第五公设。
黎曼几何的公设：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何中的另一条基本规定（实质上的公设）：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
由欧几里得几何学可得到定理p：“三角形内角之和为180度”。
由黎曼几何学可得到定理r：“三角形内角之和大于180度”。
由罗氏几何学可得到定理q：“三角形内角之和小于180度”。
究竟三角形内角之和为多少呢？
为了证实三角形内角之和究竟是多少，黎曼的老师数学家高斯，曾在地球上找三点，具体进行了测量，可能误差小未有答案。显然，如果有确定的结果，则三个几何学只会有一个与事实相符，另外两个必然是与事实不符的假理论。
数学家高斯最早发现非欧几何，但他至死都不发表，一定有他不发表的道理。即他认为正确的理论，就发表。他认为错误的理论，就坚决不发表。这是科学家对科学真理负责任的一种高尚品德。
4.非欧几何学的错误[3]
4.1公设是假命题
公设(公理)是证明定理的依据。在形式逻辑学[2]称为论
据。
形式逻辑学的论证规则[2]：论据应是已确定为真的判断。
黎曼几何，其公设中表达的“平面”，根据黎曼几何的说法是曲率大于0的曲面。公设中的“直线”是曲率大于0的曲线，是该曲面上两点之间的最短曲线(又称测地线)。
因黎曼几何在公设中，将客观事实上三维空间中的曲面、曲线，违反事实地主观表达为“平面”、“直线”，则两个公设主观表达的内容与事实都不相符。所以，黎曼几何的公设不真实，是假命题。
一条确定在三维空间的曲线，无论其向X轴弯曲，还是向Z轴弯曲，都存在曲率，并且其曲率不会改变。在罗氏几何学第五公设中的平面“直线”向Z轴弯曲，曲率小于0，而在欧几里得几何、绝对几何的第一公设和第二公设的平面“直线”在Z轴曲率等于0。这三个公设的“直线”在Z轴的曲率并不相同，为什么绝对几何仅增加罗氏几何学第五公设后，能将第一公设和第二公设的平面“直线”在Z轴的曲率，能由0改变为小于0，却不是反过来呢？
因罗氏几何5个公设直线曲率互相矛盾，与罗氏几何平面曲率全部小于0的事实不相符，也是假命题。
既然说黎曼几何的平面是真实三维空间曲率大于0的曲面，而黎曼几何的公设在理论中是证明定理的论据。根据形式逻辑学论证规则：“论据应该是已确知为真的判断”。则真实的黎曼几何公设必须严格按符合事实的方法表达为：
黎曼几何的公设1：在曲率大于0的曲面上，最短的曲线(测地线)可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何中的另一条基本规定（实质上的公设2）：在曲率大于0的同一曲面上，任何两条最短的曲线(测地线)都有公共点(交点)。
上面才是符合逻辑论证规则的表达。
将曲率大于或小于0的曲面、最短曲线(测地线)概念，歪曲事实地表达为平面、直线，在逻辑上犯了偷换概念的逻辑错误。并导致了非欧几何学的公设(论据)虚假。
4.2平面曲率自相矛盾
4.2.1绝对几何学的平面曲率a=？
罗氏几何学的平面是曲率小于0的曲面，其平面上每个点的曲率都小于0。因绝对几何学是罗氏几何学的子系统，则绝对几何学的平面每个点的曲率必然都小于0。
而欧几里得几何学的平面上的每个点曲率都为0。因绝对几何学是欧几里得几何学的子系统，则绝对几何学的平面每个点的曲率都等于0。
由此可得，绝对几何学的平面的曲率既等于0又小于0，自相矛盾，这在事实上是不可能事件。
欧几里得几何学，是在绝对几何学基础上，仅增加了第五公设，其平面曲率为何又改变为0呢？
为什么绝对几何4个公理中的直线曲率，不能决定欧几里得和罗氏几何的平面曲率，而只有第五公设中的直线曲率才能决定欧几里得几何和罗氏几何的平面曲率呢？
这是证明非欧几何学是错误的理论，理由之二。
4.2.2其他几学何学的平面的曲率a=？
非欧几何学是通过修改欧几里得几何学公设而产生的。因欧几里得几何5个公设都是独立的，用这种方法可以产生几十种几何学，但平面曲率的观点存在必然的逻辑矛盾。
如设绝对几何公理系统为A，增加黎曼几何的一个公设p，组成了新的几何公理系统B。B=A＋p。
公设p：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
B=A
黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。
黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。
欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有区别的几何。这三种几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间满足和谐性、完备性和独立性。
在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也就是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核世界，罗氏几何更符合客观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。
人们终于认识到存在一种不同于欧氏几何的新几何，称其为非欧几何。不久之后，德国的黎曼采用另一条新公理取代第五公设，创建了另一种非欧几何。黎曼的新公理认为，“过直线外的一点，一条平行线也得不出来”。数学界很快认识到这三种几何都是正确的，它们反映不同曲率空间的性质。人们把罗巴切夫斯基和鲍耶创建的几何称为罗氏几何，把黎曼创建的几何称为黎氏几何。欧氏几何是平直空间中的几何，黎氏几何是正曲率空间中的几何，罗氏几何则是负曲率空间中的几何。
1845年，黎曼在哥廷根大学发表了题为《论作为几何基础的假设》的就职演讲，标志着黎曼几何的诞生。黎曼把这三种几何统一起来，统称为黎曼几何，并用这一工作，在哥廷根大学的数学系作报告，谋求一个讲师的位置。
后经E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人进一步完善和拓广，成为A．Einstein创立广义相对论(1915年)的有力数学工具。此后黎曼几何得到了蓬勃发展，特别是E．Cartan，他建立的外微分形式和活动标架法，沟通了Lie群与黎曼几何的联系，为黎曼几何的深入发展开辟了广阔的前景，影响极为深远。近半个世纪来，黎曼几何的研究从局部发展到整体，产生了许多深刻的并在其他数学分支(如代数拓扑学，偏微分方程，多复交函数论等)及现代物理学中有重要作用的结果。
黎曼的研究是以高斯关于曲面的内蕴微分几何为基础的，在黎曼几何中，最重要的一种对象就是所谓的常曲率空间，对于三维空间，有以下三种情形：
曲率恒等于零；
曲率为负常数；
曲率为正常数．
黎曼指出：前两种情形分别对应于欧几里得几何学和罗巴切夫斯基几何学，而第三种情形则是黎曼本人的创造，它对应于另一种非欧几何学。黎曼的这第三种几何就是用命题“过直线外一点所作任何直线都与该直线相交”代替第五公设作为前提，保留欧氏几何学的其他公理与公设，经过严密逻辑推理而建立起来的几何体系。这种几何否认“平行线”的存在，是另一种全新的非欧几何，这就是如今狭义意义下的黎曼几何，它是曲率为正常数的几何，也就是普通球面上的几何，又叫球面几何。该文于黎曼去世两年后的1868年发表
近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。在物理学中的这种解释，恰恰是和黎曼几何的观念是相似的。
此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。它不仅是微分几何的基础。也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。”
以上是百度作者的观点，下文证明黎曼几何是不正确的。
2.欧几里得几何学[1]
欧几里得几何学的五条公设：
(1)从任何一点到另一点可以引一条直线。
(2)每条直线都可以无限延长。
(3)以任意点为中心，以任意长为半径可以作圆周。
(4)凡直角都相等。
(5)平面上两直线被一直线所截，若截线一侧的两内角之和小于二直角，则此两线必相交于截线的这一侧。
3.非欧几何学的公设[1]
近2000年数学界用欧几里得几何学前四个公设证明第五公设的失败，使数学家相信第五公设是独立的。通过修改第五公设，诞生了罗氏几何和黎曼几何。
欧几里得几何学，若去掉第五公设，则是绝对几何。
在绝对几何基础上增加另一个第五公设：“过已知直线外一点至少可以作两条直线与已知直线不相交”。则是罗氏几何学。
黎曼几何修改了欧几里得几何学公设中的第二公设和第五公设。
黎曼几何的公设：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何中的另一条基本规定（实质上的公设）：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
由欧几里得几何学可得到定理p：“三角形内角之和为180度”。
由黎曼几何学可得到定理r：“三角形内角之和大于180度”。
由罗氏几何学可得到定理q：“三角形内角之和小于180度”。
究竟三角形内角之和为多少呢？
为了证实三角形内角之和究竟是多少，黎曼的老师数学家高斯，曾在地球上找三点，具体进行了测量，可能误差小未有答案。显然，如果有确定的结果，则三个几何学只会有一个与事实相符，另外两个必然是与事实不符的假理论。
数学家高斯最早发现非欧几何，但他至死都不发表，一定有他不发表的道理。即他认为正确的理论，就发表。他认为错误的理论，就坚决不发表。这是科学家对科学真理负责任的一种高尚品德。
4.非欧几何学的错误[3]
4.1公设是假命题
公设(公理)是证明定理的依据。在形式逻辑学[2]称为论
据。
形式逻辑学的论证规则[2]：论据应是已确定为真的判断。
黎曼几何，其公设中表达的“平面”，根据黎曼几何的说法是曲率大于0的曲面。公设中的“直线”是曲率大于0的曲线，是该曲面上两点之间的最短曲线(又称测地线)。
因黎曼几何在公设中，将客观事实上三维空间中的曲面、曲线，违反事实地主观表达为“平面”、“直线”，则两个公设主观表达的内容与事实都不相符。所以，黎曼几何的公设不真实，是假命题。
一条确定在三维空间的曲线，无论其向X轴弯曲，还是向Z轴弯曲，都存在曲率，并且其曲率不会改变。在罗氏几何学第五公设中的平面“直线”向Z轴弯曲，曲率小于0，而在欧几里得几何、绝对几何的第一公设和第二公设的平面“直线”在Z轴曲率等于0。这三个公设的“直线”在Z轴的曲率并不相同，为什么绝对几何仅增加罗氏几何学第五公设后，能将第一公设和第二公设的平面“直线”在Z轴的曲率，能由0改变为小于0，却不是反过来呢？
因罗氏几何5个公设直线曲率互相矛盾，与罗氏几何平面曲率全部小于0的事实不相符，也是假命题。
既然说黎曼几何的平面是真实三维空间曲率大于0的曲面，而黎曼几何的公设在理论中是证明定理的论据。根据形式逻辑学论证规则：“论据应该是已确知为真的判断”。则真实的黎曼几何公设必须严格按符合事实的方法表达为：
黎曼几何的公设1：在曲率大于0的曲面上，最短的曲线(测地线)可以无限延长，但总的长度是有限的。
黎曼几何中的另一条基本规定（实质上的公设2）：在曲率大于0的同一曲面上，任何两条最短的曲线(测地线)都有公共点(交点)。
上面才是符合逻辑论证规则的表达。
将曲率大于或小于0的曲面、最短曲线(测地线)概念，歪曲事实地表达为平面、直线，在逻辑上犯了偷换概念的逻辑错误。并导致了非欧几何学的公设(论据)虚假。
4.2平面曲率自相矛盾
4.2.1绝对几何学的平面曲率a=？
罗氏几何学的平面是曲率小于0的曲面，其平面上每个点的曲率都小于0。因绝对几何学是罗氏几何学的子系统，则绝对几何学的平面每个点的曲率必然都小于0。
而欧几里得几何学的平面上的每个点曲率都为0。因绝对几何学是欧几里得几何学的子系统，则绝对几何学的平面每个点的曲率都等于0。
由此可得，绝对几何学的平面的曲率既等于0又小于0，自相矛盾，这在事实上是不可能事件。
欧几里得几何学，是在绝对几何学基础上，仅增加了第五公设，其平面曲率为何又改变为0呢？
为什么绝对几何4个公理中的直线曲率，不能决定欧几里得和罗氏几何的平面曲率，而只有第五公设中的直线曲率才能决定欧几里得几何和罗氏几何的平面曲率呢？
这是证明非欧几何学是错误的理论，理由之二。
4.2.2其他几学何学的平面的曲率a=？
非欧几何学是通过修改欧几里得几何学公设而产生的。因欧几里得几何5个公设都是独立的，用这种方法可以产生几十种几何学，但平面曲率的观点存在必然的逻辑矛盾。
如设绝对几何公理系统为A，增加黎曼几何的一个公设p，组成了新的几何公理系统B。B=A＋p。
公设p：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
B=A