半波损失和附加光程差研究
2012-06-13 09:27阅读：
本文作者林朝金
【摘 要】
在许多大学物理和光学教材中，对“半波损失”和薄膜干涉中的“附加光程差”等问题都没有详细说明，给教学和学生的正确理解带来了困难。本文从理论上详细阐明了产生半波损失的原因，说明了哪些情形下存在半波损失，哪些情形下没有半波损失，研究了薄膜干涉中的附加光程差的成因及其与半波损失的区别和联系。期望这些内容能对大学物理教学和学生的深入理解提供帮助。
【关键词】 半波损失 薄膜干涉 附加光程差
一、“半波损失”的理论研究
所谓“半波损失'，就是当光从折射率小的光疏介质射向折射率大的光密介质时，在入射点，反射光相对于入射光有相位突变π，即在入射点反射光与入射光的相位差为π，由于相位差π与光程差λ
２相对应，它相当于反射光多走了半个波长λ ２的光程，故这种相位突变π的现象叫做半波损失。
半波损失仅存在于当光从光疏介质射向光密介质时的反射光中，折射光没有半波损失。当光从光密介质射向光疏介质时，反射光也没有半波损失。
“半波损失”现象可以由电磁场理论中的菲涅耳公式予以解释。
光波是频率范围很窄（400nm～700nm）的电磁波。实验表明，在光波的电矢量E→和磁矢量H→中，能够引起人眼视觉作用和光学仪器感光作用的主要是电矢量E→，所以把光波中的电矢量E→叫做光矢量。
电磁波（光波）通过不同介质的分界面时会发生反射和折射。根据麦克斯韦的电磁场理论，在分界面处，入射波、反射波、折射波的振幅矢量E→１、E′→１、E→２沿垂直于入射面的分量和沿平行于入射面的分量之间的关系满足菲涅耳公式：
Ｅ′１S Ｅ１S＝－ｓｉｎ（ｉ－ｒ） ｓｉｎ（ｉ＋ｒ） （1） Ｅ′１P Ｅ１P＝ｔａｎ（ｉ－ｒ） ｔａｎ（ｉ＋ｒ） （2） Ｅ２Ｓ
Ｅ１Ｓ＝２ｓｉｎｒｃｏｓｉ ｓｉｎ（ｉ＋ｒ） （3） Ｅ２Ｐ Ｅ１Ｐ＝２ｓｉｎｒｃｏｓｉ ｓｉｎ（ｉ＋ｒ）ｃｏｓ（ｉ－ｒ） （4）
图1
式中i、r分别表示入射角和折射角。Ｅ１Ｓ表示入射波的振幅矢量Ｅ→１沿垂直于入射面的分量，E′→１S表示反射波的振幅矢量E′→１沿垂直于入射面的分量，E2S表示折射波的振幅矢量E→
2沿垂直于入射面的分量；E→１P表示入射波的振幅矢量E→１沿平行于入射面的分量，E′→１P表示反射波的振幅矢量E′→１沿平行于入射面的分量，E2P表示折射波的振幅矢量E→2沿平行于入射面的分量。各个分量的正方向可以假定为图1所示，即选取垂直于入射面向外的方向为垂直分量的正方向，选取垂直分量、平行分量与光波传播方向之间满足右手螺旋关系的方向为平行分量的正方向。
1．研究光从折射率小的光疏介质射向折射率大的光密介质 由光的折射定律ｎ１ｓｉｎｉ＝ｎ２ｓｉｎｒ知，入射角大于折射角，即ｉ＞ｒ。
（1）光线正入射时 图2
由于入射角ｉ≈0，反射光和入射光的传播方向几乎相反，ｉ＋ｒ＜９０°。由式（1）知，E′１S＜0，即反射波振幅矢量E′→１中的垂直分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直入射面向内；由式（2）知，E′１P＞0，即反射波振幅矢量E′→１中的平行分量的实际方向与假定的正方向相同。由式（3）和（4）可知，E2S＞0，E２Ｐ＞0，即Ｅ２Ｓ、Ｅ２Ｐ的实际方向均与假定的正方向相同。各分量的实际方向如图2所示。
由图2可以看出，在分界面处，反射光中E′１S和E′１P合矢量E′→１的方向几乎与该点入射光中Ｅ１Ｓ和Ｅ１Ｐ合矢量E→１的方向相反，折射光中Ｅ２Ｓ和Ｅ２Ｐ合矢量E→2的方向几乎与该点入射光中光矢量E→１的方向相同。
（2）光线掠入射时
图3
由于入射角ｉ≈90°，反射光和入射光的传播方向几乎相同，ｉ－ｒ＞０°，ｉ＋ｒ＞９０°。由式（1）知，E′１S＜0，即反射波振幅矢量Ｅ′１→中的垂直分量的实际方向仍与假定的正方向相反，为垂直入射面向内；由式（2）知，E′１P＜0，即反射波振幅矢量E′→１中的平行分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直于反射波的传播方向向上。由式（3）和（4）可知，Ｅ２Ｓ＞0，Ｅ２Ｐ＞0，即Ｅ２Ｓ、Ｅ２Ｐ的实际方向均与假定的正方向相同。各分量的实际方向如图3所示。
由图3可以看出，在分界面处，反射光中E′１S和E′１P都取负值，其合矢量E′→１的方向也几乎与该点入射光中E１S和Ｅ１Ｐ合矢量E→１的方向相反，折射光中Ｅ２Ｓ和Ｅ２Ｐ合矢量E→2的方向也几乎与该点入射光中光矢量E→１的方向相同。
从以上分析可知，当光从光疏介质正入射或掠入射到光密介质的分界面上时，反射光与入射光几乎在同一直线上传播，在入射点，反射光的光矢量的振动方向几乎与入射光的光矢量的振动方向相反，即反射光相对于入射光产生了一个相位突变π，发生了“半波损失”。在入射点，折射光的光矢量的振动方向几乎与入射光的光矢量的振动方向相同，没有相位突变，即折射光相对于入射光不存在半波损失。
在光线斜入射（入射角不是近似等于0°或90°）的情况下，由于入射光和反射光的传播方向不在同一直线上，其光矢量的平行分量也不在同一直线上，无法比较其方向相同或相反，因此，讨论相位突变或半波损失没有意义。
2．研究光从折射率大的光密介质射向折射率小的光疏介质 由光的折射定律ｎ１ｓｉｎｉ＝ｎ２ｓｉｎｒ知，入射角小于折射角，即ｉ＜ｒ。
（1）光线正入射时
图4
由于入射角ｉ≈０，ｉ－ｒ＜０°，ｉ+ｒ＜90°。由式（1）知，E′１S＞0，即反射波振幅矢量E′→１中的垂直分量的实际方向与假定的正方向相同，仍为垂直入射面向外；由式（2）知，E′１P＜0，即反射波振幅矢量E′→１中的平行分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直于反射波的传播方向向左。由式（3）和（4）可知，Ｅ２Ｓ＞0，Ｅ２Ｐ＞0，即Ｅ２Ｓ、Ｅ２Ｐ的实际方向均与假定的正方向相同。各分量的实际方向如图4所示。
由图4可以看出，在分界面处，反射光中E′１S和E′１P合矢量E′→１的方向几乎与该点入射光中Ｅ１Ｓ和Ｅ１Ｐ合矢量E→１的方向相同，折射光中Ｅ２Ｓ和Ｅ２Ｐ合矢量E→2的方向几乎与该点入射光中光矢量E→１的方向相同。
（2）光线掠入射时 图5
由于入射角ｉ≈90°，反射光和入射光的传播方向几乎相同，ｉ－ｒ＜０°，ｉ+ｒ＜90°。由式（1）知，E′１S＞0，即反射波振幅矢量E′→１中的垂直分量的实际方向仍与假定的正方向相同，为垂直入射面向外；由式（2）知，E′１P＞0，即反射波振幅矢量E′→１中的平行分量的实际方向与假定的正方向相同，为垂直于反射波的传播方向向下。由式（3）和（4）可
知，Ｅ２Ｓ＞0，Ｅ２Ｐ＞0，即Ｅ２Ｓ、Ｅ２Ｐ的实际方向均与假定的正方向相同。各分量的实际方向如图5所示。
由图5可以看出，在分界面处，反射光中E′１S和E′１P都取正值，其合矢量E′→１的方向也几乎与该点入射光中Ｅ１Ｓ和Ｅ１Ｐ合矢量E→１的方向相同，折射光中Ｅ２Ｓ和Ｅ２Ｐ合矢量E→2的方向也几乎与该点入射光中光矢量E→１的方向相同。
由上述分析可知，当光从光密介质正入射或掠入射到光疏介质的分界面上时，反射光与入射光几乎在同一直线上传播，在入射点，反射光的光矢量的振动方向和折射光的光矢量的振动方向都几乎与入射光的光矢量的振动方向相同，没有相位突变，这时反射光和折射光相对于入射光都不存在半波损失。
综上所述，当光从光疏介质正入射或掠入射到光密介质的分界面上时，在入射点，反射光相对于入射光有相位突变π，即存在半波损失，折射光相对于入射光没有相位突变，折射光不存在半波损失。当光从光密介质正入射或掠入射到光疏介质的分界面上时，反射光和折射光相对于入射光都没有相位突变，即都不存在半波损失。
二、薄膜干涉中的附加光程差研究
薄膜干涉是一束平行光入射到一层很薄的介质膜上，在分界面处被分解成两束，一束在分界面处（薄膜的上表面）反射，另一束折入薄膜内部，在另一个分界面处（薄膜的下表面）反射，然后再会合到一起产生干涉现象，如图6中b、a两束光的干涉。
图6
在薄膜干涉中，当光以小于布儒斯特角的入射角斜入射时，如果发生反射的上、下两个分界面的性质都属于光从光疏介质到光密介质，即在图6中是ｎ１＜ｎ２＜ｎ３，或都属于光从光密介质到光疏介质，即在图6中是ｎ１＞ｎ２＞ｎ３，则b、a两束反射光之间没有附加的光程差；如果发生反射的上、下两个分界面的性质，一个是光从光疏介质到光密介质，另一个是从光密介质到光疏介质，即在图6中是ｎ１＜ｎ２＞ｎ３或ｎ１＞ｎ２＜ｎ３，则b、a两束光之间存在半个波长即λ
２的附加光程差。 从薄膜的上、下两个分界面反射的两束光a和b之间有无附加光程差λ ２，也可以由菲涅耳公式加以解释。 图7
1．研究ｎ１<ｎ２<ｎ３的情形 如图7所示。 （1）
在薄膜的上表面反射时，因为ｎ１＜ｎ２，所以ｉ１＞ｒ１，ｉ１＋ｒ１＜90°。由菲涅耳公式的式（1）知，Ｅａｓ＜0，即反射光a的振幅矢量Ｅ→ａ中的垂直分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直入射面向内；由式（2）知，Ｅａｐ＞0，即反射光振幅矢量Ｅ→ａ中的平行分量的实际方向与假定的正方向相同，为垂直于反射光的传播方向斜向右下方。由式（3）和（4）可知，折入薄膜的折射光2的振幅矢量Ｅ→2的两个分量Ｅ２Ｓ＞0，Ｅ２Ｐ＞0，即Ｅ２Ｓ、Ｅ２Ｐ的实际方向均与假定的正方向相同，即Ｅ２Ｓ的方向为垂直入射面向外，Ｅ２Ｐ的方向为垂直于折射光2斜向左下方。
（2）光线2在薄膜的下表面反射时，因为ｎ２＞ｎ３，所以ｉ２＜ｒ２，ｉ２＋ｒ２＜90°。由菲涅耳公式的式（1）知，Ｅ３Ｓ＞0，即反射光3的振幅矢量Ｅ→3中的垂直分量的实际方向与假定的正方向相同，为垂直入射面向外；由式（2）知，Ｅ３Ｐ＜0，即反射光振幅矢量Ｅ３→中的平行分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直于反射光的传播方向斜向左上方。
图8
（3）光线3在薄膜的上表面折射时（此时光线3为入射光），因为ｎ２＞ｎ１，所以
ｉ３＜ｒ３，ｉ３＋ｒ３＜90°。由菲涅耳公式的式（3）和（4）可知，ＥｂＳ＞0，Ｅｂｐ＞0，即折射光振幅矢量Ｅ→b中两个分量ＥｂＳ、ＥｂＰ的实际方向应与入射光振幅矢量Ｅ→3中Ｅ３Ｓ、Ｅ３Ｐ之间满足相同的方向关系，即ＥｂＳ的方向应与Ｅ３Ｓ的方向相同，为垂直入射面向外；ＥｂＰ的方向也应垂直于折射光b斜向左上方。各部分光波的振幅矢量中的垂直分量和平行分量的方向如图8所示。
从图8可以看出，由于光波a和b平行，所以ＥｂＰ与ＥａＰ反向，且ＥｂＳ与ＥａＳ反向，故光波b的振幅矢量Ｅ→ｂ与光波a的振幅矢量Ｅ→ａ的方向相反，相位差为π，即b、a之间存在附加光程差λ
２。 用相同的分析方法，可以得出，当ｎ１＞ｎ２＜ｎ３时，反射光波b、a之间仍存在附加光程差λ ２。
2．研究ｎ１＜ｎ２＜ｎ３的情形
图9
如图9所示。 （1）在薄膜的上表面反射时，因为ｎ１＜ｎ２，所以ｉ１＞ｒ１，ｉ１＋ｒ１＜９０°。由菲涅耳公式的式（1）知，ＥａＳ＜0，
即反射光a的振幅矢量Ｅ→ａ中的垂直分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直入射面向内；由式（2）知，ＥａP＞0，即反射光振幅矢量Ｅ→ａ中的平行分量的实际方向与假定的正方向相同，为垂直于反射光的传播方向斜向右下方。由式（3）和（4）可知，折入薄膜的折射光2的振幅矢量Ｅ→2的两个分量Ｅ２S＞0，Ｅ２Ｐ＞0，即Ｅ２Ｓ、Ｅ２Ｐ的实际方向均与假定的正方向相同，即Ｅ２Ｓ的方向为垂直入射面向外，Ｅ２Ｐ的方向为垂直于折射光2斜向左下方。
（2）光线2在薄膜的下表面反射时，因为ｎ２＜ｎ３，所以ｉ２＞ｒ２，ｉ２＋ｒ２＜90°。由菲涅耳公式的式（1）知，Ｅ３Ｓ＜0，即反射光3的振幅矢量Ｅ→3中的垂直分量的实际方向与假定的正方向相反，为垂直入射面向内；由式（2）知，Ｅ３Ｐ＞0，即反射光振幅矢量Ｅ→3中的平行分量的实际方向与假定的正方向相同，为垂直于反射光的传播方向斜向右下方。
图10
（3）光线3在薄膜的上表面折射时（此时光线3为入射光），因为ｎ２＞ｎ１，所以ｉ３＜ｒ３，ｉ３＋ｒ３＜90°。由菲涅耳公式的式（3）和（4）可知，ＥｂＳ＞0，ＥｂＰ＞0，即折射光振幅矢量Ｅ→b中两个分量ＥｂＳ、ＥｂＰ的实际方向应与入射光振幅矢量Ｅ→3中Ｅ３Ｓ、Ｅ３Ｐ之间满足相同的方向关系，即ＥｂＳ的方向应与Ｅ３Ｓ的方向相同，为垂直入射面向内；ＥｂＰ的方向也应垂直于折射光b斜向右下方。各部分光波的振幅矢量中的垂直分量和平行分量的方向如图10所示。
从图10可以看出，由于光波a和b平行，所以Ｅｂｐ与ＥａＰ同向，且ＥｂＳ与ＥａＳ同向，故光波b的振幅矢量Ｅ→b与光波a的振幅矢量Ｅ→ａ的方向相同，相位差为零，即b、a之间没有附加光程差λ
２。 用相同的分析方法，可以得出，当ｎ１＞ｎ２＞ｎ３时，反射光b、a之间也没有附加光程差λ ２。
三、附加光程差与半波损失的区别和联系
“半波损失”是指反射光与入射光之间的关系，而“附加光程差”指的是两束反射光之间的关系，二者是不相同的。 在图6中，当ｎ１＜ｎ２＞ｎ３
或 ｎ１＞ｎ２＜ｎ３
时，
1．若光波正入射（ｉ≈0），可用半波损失解释反射光b、a之间的附加光程差λ ２。
当ｎ１＜ｎ２＞ｎ３时，由于ｎ１＜ｎ２，薄膜上表面反射的反射光a相对于入射光1存在半波损失λ ２
，在计算反射光a的光程时应加上由于半波损失而增加的光程λ
２。由于ｎ２＞ｎ３，薄膜下表面反射的反射光3相对于入射光2不存在半波损失，且折射光2和b都没有半波损失，故计算两束反射光b、a之间的光程之差时就出现附加光程差λ
２。
当ｎ１＞ｎ２＜ｎ３时，由于ｎ１＞ｎ２，薄膜上表面反射的反射光a相对于入射光1不存在半波损失，由于ｎ２＜ｎ３，薄膜下表面反射的反射光3相对于入射光2存在半波损失λ
２，而折射光2和b都没有半波损失，故计算两束反射光b、a之间的光程之差时也出现附加光程差λ ２。 当 ｎ１＜ｎ２＜ｎ３
时，由于ｎ１＜ｎ２，薄膜上表面反射的反射光a相对于入射光1存在半波损失λ
２，又由于ｎ２＜ｎ３，薄膜下表面反射的反射光3相对于入射光2也存在半波损失λ
２，而折射光2和b都没有半波损失，故两束反射光b、a之间的光程之差中就没有附加光程差λ
２（两个表面反射时都存在由半波损失而增加的附加光程λ ２，计算光程差时相减为零）。 当 ｎ１＞ｎ２＞ｎ３
时，由于ｎ１＞ｎ２，薄膜上表面反射的反射光a相对于入射光1没有半波损失，又由于ｎ２＞ｎ３，薄膜下表面反射的反射光3相对于入射光2也不存在半波损失，且折射光2和b都没有半波损失，故两束反射光b、a之间的光程之差中就没有附加光程差λ
２。 2．若光波斜入射，则不能用半波损失解释反射光b、a之间的附加光程差λ ２。
当光波斜入射时，相位突变或半波损失已经没有意义。但从上面的分析可知，在ｎ１＜ｎ２＞ｎ３或ｎ１＞ｎ２＜ｎ３情形下，两束反射光b、a之间存在附加光程差λ
２，
这时显然不能再用半波损失来解释反射光b、a之间的附加光程差λ ２。
参考文献：
［1］郭硕鸿。电动力学。北京：人民教育出版社，1980。130～132。
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