「稳赚不赔」的凯利公式：永远给自己留一手牌
2024-05-18 20:06阅读：
正所谓“留得青山在，不怕没柴烧”，聪明人下注永远会给自己留一手牌。而这正是凯利公式抛开公式本身所揭示的深刻寓意。
凯利公式（Kelly
Criterion）的核心思想是：在每次下注时，投资者应该根据赢的概率（p）和赔率（b，即净收益率，不包括本金的赔率）来决定下注的资金比例，传说巴菲特曾使用凯利公式来投资。
这个公式的核心在于平衡——在胜率和赔率之间寻找那个最佳的下注比例，避免因连续失败而破产的风险。它教会我们，不要被短期的得失所迷惑，而应该着眼于长远的复利增长。在这个过程中，我们可能会遇到失败，但只要我们保持在牌桌上，就总有翻盘的机会。
凯利公式并非万能，它也有自身的局限性。它需要我们对胜率和赔率有准确的判断，而这在现实世界中往往难以做到。不过，凯利公式给予我们的启示是：无论是投资还是人生的赌局，我们要学会聪明地下注，永远给自己留一手牌。这不仅是为了应对未来的不确定性，更是为了在生活的每一个阶段，都能保持前进的动力和希望。让我们以智慧和勇气，在这个充满变数的世界中，找到属于自己的最佳策略，实现个人价值的最大化。以下，Enjoy:
本文的“下注”是指游戏或合法投资，
三个故事
故事1
最后一口水
有个人在沙漠上迷路了，后来没有水，在救援人员赶来之前不幸离世。后来救援人员发现他随身携带的钢笔里还有墨水。有人说，假如他喝了墨水，没准儿能坚持到获救。
故事2
最后一层楼
这个故事大约是本世纪初我听到的。有个富豪，生意做得很大。后来遭遇挫折，亏光所有资产。绝望时突然想起自己在HK买过一层写字楼，一直没放在心上，这时候真成了东山再起的筹码。--幸好忘了，不然可能连这层楼也亏掉了。
故事3
最后一笔财
和几个做投资的朋友吃饭。有位兄弟说起应该像当年犹太人那样，备一些应急的珠宝。一是如上世纪初地球混乱时能当买路钱，二是逃到生地后也需要重振旗鼓的本钱。
我提及以上三个故事，重点不在应急，而是想说：
任何时候，确保自己还有下注的能力，是一种极其重要的生存
智慧。
这三个故事都揭示了一个核心的生存和成功原则：
无论你面对何种情况，都要确保自己保有下一步行动的能力，无论是在商业、投资还是生活中。
故事一中的人，如果意识到自己的钢笔中的墨水，就可能能够继续生存下去，等待救援。
故事二中的富豪，在他的生意倒塌后，由于他之前在香港的一处写字楼，他有机会重新开始，再次积累财富。
故事三中的犹太人，他们储备了珠宝等贵重物品，使他们在最糟糕的情况下仍有生存的可能。
所有这些故事都强调了保持“下注”的能力的重要性：
1、在投资中，这意味着你要保证自己有足够的资金和资源来应对市场的波动和不确定性；
2、在生活中，这可能意味着你需要保持自己的身心健康，保持学习和进步，以便在面对困难和挑战时，你有能力和信心去应对。
更往前一步，则是对凯利公式的思考。
凯利公式
一种聪明下注的方法
本文是对凯利公式的探讨。该公式根据赌博赢或输的概率，计算出每次下注的资金占所有赌本的最佳比例。
投资决策的一大特点是：在投资时机上，有一定的回旋余地，可以通过推迟行动，以获得有关未来的更多信息。
简而言之，对于不确定的事件，可以沿着时间轴，按照手上筹码按照比例，分批次下注。
凯利公式只是一个公式，绝非神器。对于输赢的概率，绝大多数时候只能是主观判断。
决策一定是面向未来的，充满不确定性的。凯利公式将决策的”跨期“拆成了一个个单元，将时间变成了离散的下注区间。
在这个过程中，主观概率亦能够随着时间而愈发逼近真相，此亦贝叶斯更新。
某种意义上，这是超越“人在时间洪流中只能活在当下”的局限性，进行整体的并发性思考。
人生总是起起伏伏，有输有赢。
不要孤立地看待此生的某一个角落，也不要用某一个时刻为此生定性。
所谓大局观，包括对空间、时间、事件、自我、“本金”的整体性思考。
时间，才是你我此生最大的本金。未来依然是宽广的，忘掉沉没的过往，也不要在狭窄的地方纠缠不清。
不管风雨有多大，关键是让自己留在牌桌上，等好运再次降临。
“
大脑：说起下注，今天我们来聊凯利公式。
ChatGPT：凯利公式是一个用来决定最优投注比例的公式，它帮助投资者最大化长期的收益。
这个公式是由凯利在1956年提出的，他在贝尔实验室工作，试图找到一种有效的通信线路噪声管理策略。
然后他发现，他的理论可以应用于投资领域，帮助人们确定每次下注的最佳金额。
凯利公式如下：
f* = (bp - q) / b
这里：
f* 是应该下注的资金的比例；
b 是每次赌注的净收益率（不包括本金的赔率）；
p 是获胜的概率；
q 是失去赌注的概率，也就是（1-p）。
这个公式基于一个假设，那就是你可以准确估计获胜的概率和每次赌注的潜在收益。如果你的预测是准确的，那么凯利公式可以告诉你应该把多少钱投入到每次下注中，以最大化长期的收益。
然而，值得注意的是，凯利公式的应用在实际情况中可能会非常复杂，因为：
1、我们很难精确地预测获胜的概率和每次赌注的潜在收益。
2、凯利公式可能会导致比较大的投注比例，如果你不能接受这种风险，那么你可能需要把下注比例降低一些。
讲起凯利公式，我们必须要提一下香农和索普。
当年索普发现了二十一点战胜庄家的办法，但是，即使胜率占优，期望值为正，因为庄家的本金相对几乎是无限多，所以每次如何下注依然是个难题。
索普向贝尔实验室最聪明的香农求助，香农于是推荐了第二聪明的凯利提出的公式。
ChatGPT：这个故事很有趣。
索普是一个极其聪明的数学家，他是最早系统性地研究二十一点游戏策略的人。他发现了一种可以在长期内战胜策略，这就是现在被广泛使用的“基本策略”和“计数系统”。
然而，索普在确定每一局应下注多少时遇到了问题。他明白，即使他有优势，但如果他每次下注过多，那么他仍然有可能在短期内输掉所有的钱。他需要一种方法来平衡胜率和下注金额。
于是，他找到了香农求助。香农是信息论的创始人，他认识到索普的问题实际上是一个关于信息和噪声的问题，于是推荐了凯利公式给他。
使用凯利公式，索普可以确定每次下注的最佳比例，使他的长期收益最大化。
凯利公式基于的思想是，如果你的策略具有正的期望收益，那么你应该适度地增加投注，但又不能过度，以免风险太大。
这个故事是一个完美的例子，展示了数学、信息论和决策理论是如何在现实中发挥作用的。
凯利公式的推导
大脑：请你从数学角度，讲一下凯利公式的原理、推导。
ChatGPT：凯利公式的基本思想是最大化长期投资的复利增长。它是在特定假设下推导出来的，主要用于确定在有正期望值的投资或下注中应投入的比例。
先说原理。
凯利公式的基本思想源自信息理论和概率理论。
它的目标是找到一个投资策略，使得资本的长期复利增长率最大。
这通常涉及到在风险和收益之间进行权衡。
以下是公式推导。在一个简单的游戏中，假设：
每次赢的概率为p；
输的概率为q=1-p；
每次赢得的收益率为b（净赔率）；
每次输的收益率为-1（输掉的是你投入的资本）。
如果你决定每次投入总资本的f比例，那么每次后你的资本变为：
赢：(1+f*b)；
输：(1-f)。
假设每次是独立的，那么在n次后，你的资本Cn为：
Cn = C0 * (1+f*b)^X * (1-f)^Y,
其中，X是你赢的次数，Y是你输的次数。
从长期来看（即n趋于无穷大），资本的期望对数增长率（即对数资本的期望增长率）是最重要的指标。在这个模型中，这个增长率g为：
g = E[ln(Cn/C0)]/n = pln(1+fb) + q*ln(1-f).
你的目标是找到一个f，使得g最大。这可以通过求解上面这个式子的最大值来实现。
使用微积分的方法，你会找到：
f* = (bp - q) / b,
其中f*是使得g最大的f值。
不确定情况下的复利
大脑：在某种意义上，凯利公式是用来计算不确定情况下的复利回报的。
在确定性情况下，复利的计算很简单；但在现实世界里，投资者哪怕胜率占优，也是有输有赢的。如上计算，全面考虑了亏和赚对整体收益的影响。
ChatGPT：是的，你的理解是正确的。
凯利公式就是在处理这样的问题：在一个存在风险的环境中，你应该如何分配你的投资，以最大化你的长期复利回报。
在确定性的环境中，复利的计算是简单直接的。如果你知道你的投资回报率，你可以简单地将这个回报率应用于你的投资本金，然后持续复利，得到你的最终回报。
然而，在现实世界中，投资者面临的通常是一种风险环境，即使你的策略胜率占优，你也不能保证每一次投资都会赢。
这就是凯利公式的应用场景。
凯利公式告诉你在每一次投资中应该投入多少本金，这个数值是根据你的胜率和赔率计算出来的，以期最大化你的长期复利回报。
当你遵循凯利公式进行投资时，即使在一段时间内有输的投资，只要你的策略在长期中胜率占优，你的投资本金将会按照复利增长。
然而，需要注意的是，凯利公式并不能消除风险，它只是提供了一个理论上的最佳投资比例，以期望在长期中获得最大的复利回报。
在实际应用中，投资者可能需要考虑到其他的风险因素，比如市场的波动性，投资者的风险承受能力等，所以可能不会完全按照凯利公式的建议进行投资。
凯利公式只适用于期望值为正的投资。
也就是说，这个公式只能帮助一个好的投资，而无法挽救一个差的投资。
。
ChatGPT：是的，凯利公式是在投资或下注的期望值为正的情况下才能提供最优策略的。
期望值是每次投资可能的收益与各自发生的概率的乘积之和。
如果一个投资的期望值为正，那就意味着在长期内，这个投资平均每次能带来正的收益。
反过来，如果一个投资的期望值为负，那就意味着在长期内，这个投资平均每次会带来损失。
凯利公式的目标是找到一个策略，使得你的资本的长期复利增长率最大。
如果一个投资的期望值为负，那么无论你投入多少资本，长期来看你的资本都会减少。
在这种情况下，凯利公式没有意义，因为没有任何策略能增加你的资本。
因此，凯利公式必须基于期望值为正的投资，否则，它无法提供有效的投资策略。
赔率和胜率的错觉
一篇强调“高赔率投资”的文章里，举了一个“反面”例子。
按照凯利公式：
1、一个10倍赔率的机会，如果只有10%的概率赢，最佳下注仓位只有1%；
2、一个0.5倍赔率的机会（赚1亏2），如果有80%概率赢，最佳下注仓位可以到40%。
该文由此认为：经典投资理论更倾向于进行高概率的投资，能够提高对概率的把握就是提高胜率。
按照（凯利公式）这套重概率（胜率）轻赔率的做法，想在投资实践中获得高收益是非常不容易的。
因为概率很难预估，并且由于投资并非扔骰子式的大规模重复，对结果无法验证。
问题来了，凯利公式真的“重胜率轻赔率”吗？
ChatGPT：凯利公式是基于投资的概率和赔率来确定最佳的投资仓位的，所以它并非“重胜率轻赔率”或“重赔率轻胜率”，而是二者都要考虑。我们来具体计算一下你提供的两个例子：
1、对于一个10倍赔率的投资机会，如果你赢的概率是10%，那么根据凯利公式：F* = p - q / b = 0.1 - 0.9 /
10 = 1%。
这就是说，如果你想最大化你的长期收益，那么你应该把你的1%的资金投入这个投资机会。
2、对于一个0.5倍赔率的投资机会，如果你赢的概率是80%，那么根据凯利公式：F* = p - q / b = 0.8 - 0.2 /
0.5 = 40%。
这就是说，如果你想最大化你的长期收益，那么你应该把你的40%的资金投入这个投资机会。
以上两个例子清楚地表明，凯利公式并不是“重胜率轻赔率”，而是同时考虑了胜率和赔率来确定最佳的投资仓位。
为了让人们理解凯利公式计算的是最佳结果，我们假设上面的第一个例子里，下注比例分别调整为2%、10%和20%。然后对比1%的最佳建议下注比例，看看最终整体回报分别是多少。
ChatGPT：我们分别算算看就知道了。
如果我们以1%的下注比例进行投资，每次投资成功，收益是初始金额的10%，失败则损失初始金额的1%。
假设有10000次独立投资机会，其中有10%的机会获胜（1000次），90%的机会失败（9000次）。
永远不要All in，更不要加杠杆。
伯努利原理，或伯努利定理，是概率论和统计学中的一个基本定理，它描述了在大量独立实验中，实验结果的平均值会趋近于期望值。
在投资领域，伯努利原理常被用来描述资产的期望回报。如果我们把每一次投资看作是一个独立实验，那么伯努利原理告诉我们，随着投资次数的增加，我们的平均收益将趋近于投资的期望收益。这就是众所周知的大数定律。
不论是在生活中还是在投资中，我们都应该倾听这个信息：
不要一次性把所有的资源都用完，而是要留有余地，这样当出现新的机会时，我们还有本钱去抓住它。
这就是我们讨论遍历性时所说的——始终保持在游戏中的能力，以便在长期中实现最大收益。
攻守兼备
我觉得，凯利公式对投资者而言，特别强调攻守兼备。的确，伟大的投资者，首先都是伟大的防守者。这和下棋很像。
大脑：说起厉害的投资者，还有一点非常重要，对比普通投资者，他们有源源不断的现金流。
如此一来，在凯利公式的框架里，他们就有更多本金来调节，让几何平均数更大，从而整体回报也更高。
我们对凯利公式和下注比例做个总结吧。
ChatGPT：总结一下我们的讨论。
1、凯利公式是一个强大的工具，它可以帮助我们理解如何最大化长期投资回报。这个公式告诉我们，对于任何有正期望值的投资机会，应该投资的比例是多少，以最大化长期的复合增长。
2、凯利公式的应用需要慎重考虑，尤其是在估计胜率和赔率时。在实际应用中，这些参数往往很难准确估计，如果预测不准确，可能导致过度投资或投资不足。
3、不断的再平衡（Rebalancing）是一个重要的策略，它可以帮助我们利用市场的波动，进一步提高投资回报。
这个策略的优点是，不需要预测市场的走势，只需要定期调整投资比例，使其保持在一定的比例。
4、投资是一种平衡风险和回报的活动。虽然我们都希望获得高回报，但是我们也不能忽视风险。凯利公式可以帮助我们理解这种平衡，但在实际应用中，我们还需要考虑我们自己的风险承受能力。
5、投资不仅仅是选择正确的投资项目，还需要正确的投资比例和时间。凯利公式和再平衡策略都强调了这一点。
以下是对普通人而言十个重要的财富思维原则：
1、理解投资基础。了解投资基础知识，如凯利公式、风险和回报的关系，以及复利增长的原理，都是非常重要的。
2、审慎决策。在投资决策中，不要只看到可能的回报，也要看到其中潜藏的风险。这需要你对投资目标进行充分的研究和理解。
3、应急准备。无论是个人生活还是投资活动，都应有足够的现金或等效资产作为应急储备，以应对意外情况和新的投资机会。
4、分散投资。 不要将所有的鸡蛋放在一个篮子里。通过在不同的资产类别、地理位置和行业中投资，你可以有效分散风险。
5、长期视角。投资不是一夜暴富的游戏，而是长期积累的过程。耐心和长期投资通常能带来更好的回报。
6、利用市场波动。市场波动性并不一定是坏事，如果你有正确的工具和策略（如凯利公式和再平衡策略），你可以利用这些波动获取利润。
7、保持学习。金融市场和投资策略是不断发展的，永远保持学习和适应变化的心态是非常重要的。
8、避免情绪化决策。投资决策应该基于事实和理性分析，而不是基于市场的短期波动或者情绪化的反应。
9、尊重数学。投资和财富管理的许多原则都可以从数学中得到，如凯利公式的最大化长期增长，以及复利增长的力量。
10、保持谦虚和开放。即使是最成功的投资者也会犯错误。承认错误，并从中学习，可以帮助你成为一个更好的投资者。同时，对所有类型的投资持开放态度，可以帮助你发现新的机会。
以上这些原则和思维方式可以帮助我们在投资和财富管理上做出明智的决策。然而，需要强调的是，每个人的情况和需求都是独特的，所以你的投资策略应该是根据你自己的目标、风险承受能力和时间范围来定制的。
最后
回到最开始的三个故事，对于每个人而言，确保自己始终有下注的能力，有进一步行动的本钱，是非常重要的。
我们未必真要懂得凯利公式的计算，在现实中也很难有完美应用该公式的环境，但是其传递的理念值得铭记：聪明下注，永远给自己留一手牌。
此外，凯利公式计算的结果，是按照比例下注的。
因为要实现最终长期回报最大化，我们需要的是“最合适”的策略。
