科普：破解康托无限数列“一一映射”之谬论
2018-04-12 15:20阅读：
背景故事：
康托全名： 格奥尔格·康托尔（1845.3.3-1918.1.6）
德国数学家，集合论的创始人。
生于俄国列宁格勒（今俄罗斯圣彼得堡）。
父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。
1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。
康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。
1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。
毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。
他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。
由于学术观点上受到的沉重打击，康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。
早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。
不过康托尔的集合论并不是完美无缺的，
一方面，康托尔对“连续统假设”和“良序性定理”始终束手无策；
另一方面，19和20世纪之交发现的布拉利－福蒂悖论、康托尔悖论和罗素悖论，
使人们对集合论的可靠性产生了严重的怀疑。
加之集合论的出现确实冲击了传统的观念，颠倒了许多前人的想法，
很难为当时的数学家所接受，遭到了许多人的反对，
其中反对的最激烈的是柏林学派的代表人物之一、构造主义者克罗内克。
克罗内克认为，数学的对象必须是可构造出来的，
不可用有限步骤构造出来的都是可疑的，不应作为数学的对象，
他反对无理数和连续函数的理论，
同样严厉批评和恶毒攻击康托尔的无穷集合和超限数理论不是数学而是神秘主义。
他说康托尔的集合论空空洞洞毫无内容。
除了克罗尼克之外，还有一些著名数学家也对集合论发表了反对意见。
法国数学家庞加莱说：“我个人，而且还不只我一人，认为重要之点在于，切勿引进一些不能用有限个文字去完全定义好的东西”。
他把集合论当作一个有趣的“病理学的情形”来谈，并且预测说：“后一代将把（Cantor）集合论当作一种疾病，而人们已经从中恢复过来了”。
德国数学家外尔认为，康托尔关于基数的等级观点是“雾上之雾”。
克莱因也不赞成集合论的思想。
数学家H．A．施瓦兹原来是康托尔的好友，但他由于反对集合论而同康托尔断交。
集合论的悖论出现之后，他们开始认为集合论根本是一种病态，
他们以不同的方式发展为经验主义、半经验主义、直觉主义、构造主义等学派，在基础大战中，构成反康托尔的阵营。
希尔伯特高度赞誉康托尔的集合论“是数学天才最优秀的作品”，
“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”，“是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。
在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特高度评价了康托尔工作的重要性，
并把康托尔的连续统假设列入20世纪初有待解决的23个重要数学问题之首。
当康托尔的朴素集合论出现一系列悖论时，克罗内克的后继者布劳威尔等人借此大做文章，
希尔伯特用坚定的语言向他的同代人宣布：“没有任何人能将我们从康托尔所创造的伊甸园中驱赶出来”。
【我点评：数学界一直有两派，简称为“实无穷”和“潜无穷”。数千年一直双方争执，互相不能说服对方。原因缺乏的个公理让对方服输。虽然实无穷补加了几大公理体系，还是堵不住悖论。关健：人类没能定义好数。数没有定义，所以双方在扯皮。】
概念及定义：
康托把无限元素引进数学王国，并发明了无限数列的基数“势”。
从而得到两组无限数列进行对比，得到叫“一一映射”也叫“双射”。
下面定义
你看不懂没事。因为我后面有简单的图解释，你就懂了。
映射：两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有有唯一的一个元素y与它对应，就这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B。
单射的定义：设f是由集合A到集合B的映射，如果所有x,y∈A,且x≠y，都有f(x)≠f(y),则称f为由A到B的单射。
满射的定义：如果每个可能的像至少有一个变量映射其上（即像集合B中的每个元素在A中都有一个或一个以上的原像），或者说值域任何元素都有至少有一个变量与之对应。
满射数学式：集合A={a1，a2，a3，...,an}；B集合={b1，b2，b3，...,bm}；当ai/bi=f时，得n≥m时。
双射的定义：单射+满射。
双射定义（一一映射）数学式：集合A={a1，a2，a3，...,an}；B集合={b1，b2，b3，...,bm}；满足ai/bi=f关系(i=1，2，3...n)，且n=m时（因为n/m=1；m/n=1。得1=1为“一一对应”的最简数学定义）。
注意：集合中元素的一一对应关系与元素大小无关，
大象与蚂蚁也属一一对应。属1=1。当然：1大象≠1蚂蚁。
上面定义
你看不懂没事。因为我马上用简单的图解释，你就懂了。
（图一）
(图二)
从上面定义和图解中得知：
{1，2，3，4} 能与{a，c，e，h} 能完成双射。
{1，2，3，4} 能与{a，c，e} 不能完成双射。
{1，2，} 能与{a，c，e，h} 不能完成双射。
从“双射”的定义和图解得知：双方必须是元素个数相等。
只有双方必须是元素个数相等，才能完成“一一映射”。
有限的两个集合（或两个数列）只有元素相等就能做到“双射”。==== 大家认可了。
两个无限数列能一一映射吗？
从前的人感觉很难完成，因为无限数列中的数是没完没了的：a1,a2,a3,a4,.....
后面总有无穷尽的数。
纠正人类两个语言分歧：难以完成，不能完成。
难以完成：有难度，到现在止 还没完成。
不能完成：不是难度的事，与难度没关系，就是不能完成。它就完不成。
康托用康氏方法做到了！他把两组无穷数列一一映射了。
即：1,2,3,4,5,6,...与2,4,6,8,10,12,....完成“一一映射”。
前面的数，从第一个开始 单射：
1→2
；2→4；3→6；4→8；5→10；6→12；....
后面的无穷尽就不管，让它们无穷尽的单射下去。就完成了“一一映射”
图示意：
