小波滤波器
2012-02-24 17:03阅读：
MRA(多分辨率分析)
滤波器组完美重构与小波快速算法。
前面的分析可以知道Vj相当于在j分辨率的逼近，Vj-1相当于j-1分辨率的逼近，这样Wj-1相当于两个分辨率逼近的差。在高分辨率下，我们可以用f在（2^j*t）的采样值来代替向Vj空间的投影，但是这是需要说明的，否则成为“小波的罪恶”，本来在Vj上的投影需要函数对Vj上的基{2^(j/2)*m（2^j*t
–n）}投影，用采样值来代替是因为当j足够大的时候，如一般情况下j=7~9时，尺度函数已经非常窄，以致用delta采样来表示误差可以忽略（其实数学推导中还因为尺度函数的消失矩有关），但是必须理解这个取代是近似的。
得到了第j层的系数，如何求得j-1层的逼近系数和两个逼近层次间的误差系数呢？这就是mallat由MRA得出的快速算法。这个算法由上面列出的几个空间和相应基的关系很容易得出。同样重构算法也可以推导得出。（具体可以查看任意一本小波书）
到这里是不是就结束了呢，那这样的话MRA也得不到这么大的名声了，它的伟大之处是与完美滤波器重构桥接上了，从而为小波构造提供了一个普遍的方法，个人认为双正交小波也是由滤波器组理论发展出来。
把快速算法的一级分解和重构结构画出来，这不就是一个完美滤波器重构么？之前对完美滤波器的重构的结论大都可以搬上来了，大家熟知的两个PR方程其实也可以通过MRA下的空间关系推出。当然单由这两个方程得到的h和g有很多解，并不是每个解都可以收敛到尺度函数和小波函数，必须附加其他条件，其中以Daubechies的p阶消失矩条件构造出的小波应用得最多（Daubechies系列小波）。
很遗憾，除了Haar小波以外（haar小波可由一阶消失矩条件构造出来），没有正交小波满足对称性条件，也就是不满足线性相位，这样在分解重构后会造成失真，在一些需要对称性的场合（如图像的分解重构，奇异点的检测等），结果是不能满足要求的。
为了构造具有光滑特性，一定消失矩，对称的小波，就不得不放弃正交条件，也就是前面提到的双正交多分辨分析.
在正交情形下，我们只需要知道H0，就可以由共轭镜像滤波器条件推导得出其他滤波器为G0，H1，G1（是H0的逆序及调制），也就是我们只需要知道一个滤波器。在双正交情形下，由完美重构滤波器条件可从H0，G0推导出H1和G1（通过逆序及调制），这表示我们需要知道两组滤波器。{（H0，G0）（H1，G1）}这两组（双）正交滤波器是可以对调的，就是谁做分解另一组就做重构。由滤波器来造小波的步骤前面已经提及！四个滤波器之间的关系是相互交叉的，即G1由H0逆序调制，而H1由G0逆序调制。
当然我们希望尺度函数和小波是紧支的(暗含滤波器也是紧支的)，否则在计算时需要进行截断，正交紧支小波的对偶为其自身，当然也是紧支的，但是有一个定理：紧支非正交小波，其对偶必然是无限支集的，可能你会很奇怪，我们平时用的双正交小波不都是紧支的么，其实这些紧支双正交小波是经过提升的，Daubechies有一个定理，任何双正交滤波器可通过对惰性滤波器不断做提升和对偶提升而生成！你只需要了解这一事实即可，深入的理解恐怕需要太多的数学知识。至于提升我也希望我能有时间写一个总结，从框架的角度来理解提升，恐怕会容易得多，只是这个愿望可能不太好实现，因为这必须要大量的推导来表述。
最后说说消失矩这个条件，Haar小波得不到应用是因为它的消失矩为1，也就是对大于一次多项式的函数的“消失”效果不好，所谓消失矩其实就是对多项式的抑制能力，消失矩越高，与信号做内积得到的系数越少越小，这在度量信号局部正则性和压缩方面是相当重要的。提升就是一种提高小波消失矩和正则性的及其重要的手段。
注：由mallat算法得到的快速算法不具有平移不变性，其中的原因是因为采样因子是不具有平移不变性的。如果需要保持平移不变性，则需要去掉抽取这一步（多孔算法），其实不是去掉，如果去掉了，就不是小波变换了，而是利用noble
identity把抽样算子移到每一分支的分解完全结束之前而已。得到的是每次分解得到原来两倍长信号，而mallat算法是每次抽掉了其中的一部分，这样随着分解层次的增加，小波系数也越来越稀。多孔也抽，不过移到最后一起抽，然后在重构之前同数目的上采样。
注：实际编程实现的时候由于要做滤波器卷积，每次卷积完后要用wkeep保持原来的长度。
小波系列-6 再谈滤波器与小波的关系
大家肯定都熟知了小波构成了L^2的（双）正交基，我们习惯在脑海中把小波系数的幅度看成未被采样的函数和小波之间的相似性度量，这也是我们获得的清楚的物理意义，那么滤波器组的角色仅仅是提供一个快速计算？那就太浅显了，我们回忆下mallat的快速算法，对函数进行采样后近似表示系数，是不是可以考虑成l^2（Z）中的函数呢？当然可以！那l^2（Z）的基是什么呢？
再回头看看快速分解的公式：第j层的低频系数Aj（n）与滤波器h（n）卷积后做下采样得到j-1层低频系数Aj-1，这个过程可以写成第j层的系数Aj（n）与下采样的滤波器h（2n）做卷积，也可以写成Aj-1（k）
= <
Aj（n），h（2k-n）>，这个形式是不是很熟悉呢，仔细看是l^2（Z）中的函数在基h（2k-n）下投影，系数为Aj-1（k）；同理可以得到第j-1层细节系数Dj-1（k）
= <
Aj（n），g（2k-n）>，同样是l^2（Z）中的函数Aj（n）在基g（2k-n）下投影，那这个h和g是不是就是我们要找的离散小波基呢？
可以由滤波器完美重构的条件推得如下结论：
如果h（-n），g（-n），h1，g1是完全重构滤波器组且傅立叶变换都有界，则
{h（2k-n），g（2k-n）|k属于Z}和{h1（2k-n），g1（2k-n）|k属于Z}构成了l^2（Z）的双正交resize基
如果上面的h（n）=h1（n），g（n）=g1（n），则{h（2k-n），g（2k-n）|k属于Z}构成了l^2（Z）的规范正交基。
这个结论的含义是什么呢？我们找到了l^2（Z）的离散小波（双）正交基！而且这些滤波器基按照小波树形分解结构得到的基仍然是l^2（Z）的离散小波（双）正交基！
注，好好理解这两句话，可能你需要对正交基或者双正交基的好处有一些体会！其实同样的方法可以构造离散的小波包的基。
大家都知道我们计算机处理的都是离散信号，以前的快速算法似乎通过将采样数据离散来近似高分辨率数据，然后通过连续小波基之间的尺度关系来推出的快速算法，而现在我们可以完全在离散情况下来考虑这个问题了，因为我们从大自然采集离散数据本身就很方便，我们只需要满足采样定律来保存原信号的信息；同时我们把滤波器看成基，这对以后的提升理解是有帮助的（对这句话有兴趣的可以和我交流）。
那滤波器基和小波基有什么关系呢，考虑对尺度方程和小波方程两边做傅立叶变换，可以通过反复迭代取极限求得尺度函数和小波基的傅立叶变换，也就是我们把滤波器通过某种方式无穷迭代最后会收敛到尺度函数和小波基，这个就叫cascade算法吧，事实上我们经过三五次迭代的结果就与连续尺度函数和小波基非常相似了。
注：并不是所有的h，g都可以最后收敛的，必须加条件，但我认为这样的h，g同样也可以用来做分解的，这似乎决定了构造离散的基比连续情况的基要简单。至于用不能收敛的h，g来分析有什么后果我还没有深入研究过。
其实以前就接触到很多结论中就有尺度函数和小波与对应滤波器组之间的关系了，如消失矩，滤波器在pi处的零点重数与小波基的消失矩是对应的，这些都是通过尺度方程和小波方程联系起来的，可以说这两个方程为我们的连续与离散架起了一座桥梁！
小波基及小波变换层数的选择？
小波变换图像压缩算法中，小波基的选择密切关系到压缩算法的性能，直接影响到最终的压缩效果。从数学函数逼近论的观点来看，压缩的本质是用尽可能少的小波基函数的加权求和项来最大限度地逼近原信号。如果基函数与原信号越相似，则能用越少的求和项来逼近原信号，在同样的恢复均方差下，压缩比就越高，压缩性能就越好。
在正交小波中只有Haar小波同时具有紧支性（有限区间内非零）和对称性。紧支性意味着滤波器的长度是有限的（如果无限，则无法处理），对称性意味着滤波器的线性相位，线性相位可以使信号相位不变。有文献已经指出：正交小波基的平滑性对图像压缩效果有一定影响，Harr小波基是不连续的，会造成恢复图像中出现方块效应。所以在小波变换压缩图像中常常放弃正交小波基而采用双正交小波基。
由于小波变换过程实际上是信号与滤波器卷积的过程，滤波器的长度增加将导致卷积运算量增加；并且从边界延拓来看，滤波器长度越长，延拓的点数越多，造成图像恢复的失真越大，应适中地选择滤波器长度。此外，双正交小波基所构成的滤波器的相位是线性的，这是在医学图像压缩中常选择双正交小波基的理由。
小波变换的层数也对图像压缩具有重要的影响，如果小波变换层数太少，不能取得令人满意的压缩效果；而变换层数太多，则压缩效果没有明显变好而只能增加算法的复杂度。
小波函数：小波分析(wavelet analysis), 或小波变换、小波转换(wavelet
transform)是指用有限长或快速衰减的、 ??为母小波(mother wavelet)的震荡波形来表示信号。该波彠被 缩放 和
平移 以匹配输入的信号。
小波的定义
缩放滤波器
小波完全通过缩放滤波器g - 一个低通 有限脉冲响应 (FIR)长度为2N和为1的滤波器 -
来定义。在双正交小波的情况，分解堌重建的滤波器分别定义。高通滤波哒的分析作为低通的QMF来计算，而重建滠波器为分解的时间反转。例如Daubechie
和Symlet小波。
缩放函数
小波有时域中的小波函数\psi (t) (即母小波)和缩放函数\phi (t)
(也称为父小波)来定义。小波函数实际上是带通滤波器，每一级缩放将带宽减半。这产生了一个问题，如果要覆盖一个谱需要无穷多的级。缩放函数滤掉小波变换的最低级并保证整个谱被覆盖到。对于有紧支撑的小波，\phi
(t)可以视为有限长，并等价于缩放滤波堨g. 例如Meyer小波
小波函数
小波只有时域表示，作为小波函数\psi (t). 例如墨西哥帽小波。
区别不同滤波器组的另一个重要特征就是带宽和各个滤波器中心频率之间的间隔。非均匀滤波器组的一个例子就是倍频间隔或小波滤波器组，在均匀滤波器组中，所有的滤波器都具有同样的带宽和采样速率。
信号源送出携带着我们希望传送的有用信息，然而在信号变化及传输过程中，由于噪声及干扰的叠加，使信号的辨认产生困难，要复原携带的有用信号，必须去除信号中叠加的噪声和干扰成分，如果噪声的频率高于或低于有效信号，通常采用滤波方法去除噪声，也可以通过使信号平滑的方法抑制干扰带来的毛刺。滤波方法是一种频域处理方法，在分析信号的频率特性时，信号变化率小的部分对应低频分量，变化率大的部分则对应高频分量。用滤波的方法滤除其高频部分就能去掉噪声，使信号得到平滑。
经典的信号去噪方法主要是基于频域的处理方法，以滤波器的形式去噪。它是把有用信号和噪声信号在频域进行分离的方法去噪。但这种方法要在信号频谱和噪声频谱没有重叠的前提下，才能把信号和噪声完全分离开来。但实际情况信号频谱和噪声频谱往往是重叠的，因为无论是高斯白噪声还是脉冲干扰，他们的频谱几乎都是分布在整个频域内。如果要噪声平滑效果好，必然会引起信号的模糊，轮廓不清，要使信号的轮廓清晰，就必然噪声的平滑效果不好。在使用时必须权衡得失，在二者之间做出合理的选择。用低通滤波器进行平滑处理可以去除噪声、伪轮廓等寄生效应，但是由于低通滤波器对噪声等寄生成分去除的同时，也去除了有用的高频成分，即进行噪声平滑的同时，也必定平滑了非平稳信号的突变点。因此这样去噪处理是以牺牲清晰度为代价而换取的。
小波分析方法是一种窗口大小即窗口面积固定、但窗口的形状可变、时间窗和频率窗都可改变的时频局部化分析方法即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适于探测正常信号中突变信号的成分。它可以用长的时间间隔来获得更加精细的低频率的信号信息!!!用短的时间间隔来获得高频率的信号信息!!!在实际的工程应用中，所分析的信号可能包含许多尖峰或突变部分，并且噪声也不是平稳的白噪声。对这种信号的降噪处理，用传统的傅立叶变换分析，显得无能为力，因为它不能给出信号在某个时间点上的变化情况。小波分析作为一种全新的信号处理方法，它将信号中各种不同的频率成分分解到互不重叠的频带上，为信号滤波、信噪分离和特征提取提供了有效途径。有些噪声的频谱是分布在整个频域内的，小波理论的发展和成熟为非平稳信号的分析提供了有利的工具。运用小波分析进行信号的降噪处理是小波分析的一个重要应用方面高通或低通滤波器无法轻易滤除的噪声很多，最常见的就是白噪声。白噪声在整个频谱内每个频点的能量为常数，且基本恒定，不管对信号进行低通还是高通处理，均不能有效地滤除白噪声，因为它存在于整个频带范围内。
有趣的是人类对白噪声的了解已经非常充分，并能熟练地从中提取很多有用的信息。白噪声甚至具有医疗功能，有些医学专家(主要是内科医生和牙医)还成功地在试验中将白噪声应用于轻度麻醉。
准确地讲,白噪声是随机的,它不具有相关性,故也没有偏差，因此,白噪声可以叠加到信号和算法中,或始终存在于模/数转换器中,而不会造成长期误码。通过恰当的处理,
白噪声还可以用来创造声音，包括人的声音和自然界的声音，甚至还能合成其它噪声。
在采用逆变换方法消除白噪声之前，可用FFT或小波滤波系统有效地提取白噪声并对结果设置门限值。一般来说，通过随机数字发生器可以生成白噪声，但实验表明要生成理想的白噪声很难，其它噪声的合成也与此类似。
色噪声
白色包含了所有的颜色，因此白噪声的特点就是包含各种噪声。白噪声定义为在无限频率范围内功
率密度为常数的信号，这就意味着还存在其它“颜色”的噪声，下面是常见的色噪声及其定义：
1．粉红噪声。在给定频率范围内(不包含直流成分)，随着频率的增加，其功率密度每倍频程下降
3dB(密度与频率成反比)。每倍频的功率相同，但要产生每倍频程3dB的衰减非常困难,因此，没有纹
波的粉红噪声在现实中很难找到。
2．红噪声(海洋学概念)。这是有关海洋环境的一种噪声，由于它是有选择地吸收较高的频率，因此
称之为红噪声。
3．橙色噪声。该类噪声是准静态噪声，在整个连续频谱范围内，功率谱有限且零功率窄带信号数量
也有限。这些零功率的窄带信号集中于任意相关音符系统的音符频率中心上。由于消除了所有的合
音，这些剩余频谱就称为“橙色”音符。
4．蓝噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长3dB(密度正比于频率)。对于高
频信号来说，它属于良性噪声。
5．紫噪声。在有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频增长6dB(密度正比于频率的平方
值)。
6．灰色噪声。该噪声在给定频率范围内，类似于心理声学上的等响度曲线(如反向的A-加权曲线)，
因此在所有频率点的噪声电平相同。
7．棕色噪声。在不包含直流成分的有限频率范围内，功率密度随频率的增加每倍频下降6dB(密度
与频率的平方成反比)。该噪声实际上是布朗运动产生的噪声，它也称为随机飘移噪声或醉鬼噪声。
8．黑噪声(静止噪声)包括：
(1) 有源噪声控制系统在消除了一个现有噪声后的输出信号。
(2) 在20kHz以上的有限频率范围内，功率密度为常数的噪声，一定程度上它类似于超声波白噪声。
这种黑噪声就象“黑光”一样，由于频率太高而使人们无法感知，但它对你和你周围的环境仍然有
影响。
(3) 具有fβ谱，其中β>2。根据经验可知，该噪声的危害性很大。
在信号处理中，我们经常会提及狄拉克(Dirac)函数或单位脉冲，这种脉冲是指具有零宽度和无限高
电平的信号。然而，具有无穷低电平和无穷高电平的脉冲是无法找到的，但可根据不同要求，产生
带宽可选和功率密度可选的信号，然后将这些信号叠加到试验对象上，这样我们就可以观察到哪部
分信号被吸收，或者哪部分信号会产生谐振。
（1）简单的说，小波变换是时间(空间)频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节；
（2）一幅图像经小波变换后被分成近似和细节两部分；
（3）小波系数指的是图像经小波变换后得到的每个像素点所对应的值；
（4）如果指的是窗口傅里叶函数，可近似看做一个带通滤波器；
（5）异常部分一般以高亮显示，对应小波系数的高频部分，可通过阈值设定来查看
小波变换类似于窗口傅立叶变换，都是在要处理的信号上加窗，只不过小波的时频窗面积不变，但形状是可变的，这样就不会遗漏信号的细节问题。
最佳答案1采用harr小波实现二位图像的分解与重构滤波器组系数
分解 低通[0.5 0.5]*sqrt(2) 高通[-0.5 0.5]*sqrt(2)
重构 低通[0.5 0.5]*sqrt(2) 高通[0.5 -0.5]*sqrt(2)
2采用db4小波实现任意一维信号和二维图像的分解重构
小波函数支撑长度可以理解为是这个函数横轴有值的范围，即不为零的宽度。具体可以通过在matlab命令窗口中输入waveinfo(db)（括号中是不同小波族名称）来查看不同小波的相关特性。我所知道的：你说的harr小波其实就是db1小波，除db1小波外，db小波族的支集长度和滤波器长度都是2N左右。sym小波的支集长度和滤波器长度同db小波族一致。只是与db小波族相比，sym小波族有更好的对称性。coif小波的支集长度为6N-1.bior小波正确缩写表示为biorNr.Nd,其中，Nr，Nd分别是和重构和分解滤波器长度有关的参数。至于后面你提到的两个小波是不是不太常用啊，反正我几乎没有看见过。不过所有小波的相关参数都可以通过waveinfo（小波名）或者waveinfo（'小波名'）查到。其中小波名是各小波族的缩写，如：db,sym,coif,bior....个人见解，希望能帮助到你。
我觉得小波去噪的在效果上和带阻滤波器的效果区别不大。
主要是小波滤波的过程可以看作是一个计算的过程，他的时效性比较好。
时效性就是指滤波的速度，小波滤波可以较快的给出结果这个在实际应用中很重要。
CDF9/7双正交小波的滤波器系数
对于分析端：低通fir滤波器有9抽头，高通fir滤波器有7抽头。
基于5/3的整数系数可逆小波变换滤波器
低通fir滤波器5个抽头，高通fir滤波器3抽头。
简单而言，小波基就是一个滤波器，可以结合数字信号处理来理解一下。
不同小波基的选择是个内涵丰富的话题，根据应用不同，选择小波基的方法也不尽相同。对于图像压缩，常用的是cdf小波基，我不知道你的领域是什么，可以考虑用大量实验或者统计分析的方法来确定哪个小波基适合你。比如我在做图像压缩的时候，就试验了各种小波基，最后用PSNR来确定哪个小波基效果更好。
小波滤波器的长度L为奇数是如何分解？
假如我有一个序列，其长度为512,现在有一个滤波器，其长度为23,如何进行小波变换?
我看到网上有一种变换，就是将滤波器的分解成 -11 至
+11来进行滤波，但有一个疑问：根据对方的代码，好象是好512长度的序列作了一个镜像，即：
-511 -510 ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... 510 511
我觉得很奇怪，为什么要将序列作一个镜像，请教各位高手？
小波滤波器的长度L为奇数是如何分解？
2楼的请注意：
对于你的问题，我是这样想的。
conv命令是对于信号f进行左右的0拓展的
而你的[CA,CD]=dwt(f,'db2','ppd');命令中对信号f是周期拓展的。
小波滤波器的长度L为奇数是如何分解？
三楼的这位兄弟，我知道conv实际上是0延拓的，但是我试验过，即使我用
wfilters函数对信号f进行了ppd周期延拓后，再和LD卷积，还是得不到matlab里CA的结果，不信你试试。后来发现
只有用wfilters函数对信号f进行了sym延拓后，再和LD卷积，才得到了matlab里CA的结果，
小波滤波器的长度L为奇数是如何分解？
如果小波滤波器组是对称的，那么通过适当的对待分解和待合成的信号进行周期对称延拓，是可以在保持与原图像同等大小的情况下完全重建的。这一点对图像压缩应用来讲特别重要。
为了使信号经过小波分解和重够后，信号的峰形变窄，我看的资料上说可以用三阶的样条小波变换来达到，但需要把三阶样条基的小波滤波器进行改造，就是使滤波器乘上一个三阶样条函数，使其只能通过很窄的信号。
三阶样条小波基滤波器的系数我通过MATLAB的指令
w='bior3.3';
[lo_d,hi_d,lo_r,hi_r]=wfilters(w);
得到为
高通分解滤波器系数为hi_d =
0 ,0 ,-0.1768 ,0.5303 ,-0.5303 ,0.1768 ,0 ,0
底通分解
