《墨子.小取》中的七种数理逻辑问题的解释(《中国哲学简史》读书笔记)

2010-10-27 18:31阅读：

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《墨子》中有六篇：《经上》、《经下》、《经说上》、《经说下》、《大取》、《小取》、与其他各篇性质不同，特别有逻辑学的价值。《经上》、《经下》都是逻辑、道德、数学和自然科学的定义。《经说上》、《经说下》是对前两篇中定义的解释。《大取》、《小取》讨论了若干逻辑问题。所有这六篇有一个总的目的，就是通过逻辑方式，树立墨家的观点，这六篇合在一起，通常叫做“墨经”。
《小取》篇写到，辩有七种方法：“或也者，不尽也。假者，今不然也。效者，为之法也。所效者
，所以为之法也。故中效，则是也；不中效，则非也；此效也。辟也者，举他物而以明之也。佯也者．比辞而俱行也。援也者，曰：子然，我要独不可以然也?推也者，以其所不取之同于其所取者予之也。‘是犹谓’也者，同也；‘吾岂谓’也者，异也。”

以上引自冯友兰先生的《中国哲学简史》，以下是结合自己的理解对这七中方法做的解释。

第一种：或也者，不尽也。（参考高中数学选修1-1，1。4全称量词与存在量词）
这里“或”表示特称命题。“尽

”表示全称命题。如：“这匹马是白马。”“存在一个数X，使函数Y=F（X）大于0。”这些是特称命题。如“（所有）白马都是马。”“对所有X，函数Y=F（X）都大于0。”这些是全称命题。特称命题表示对个别对象或者某些对象为主语的命题。而全称命题表示以某一类对象的全体为主语的命题。所以一个特称命题不能推出相应的全称命题。如“存在一个数X，使函数Y=F（X）大于0。”不能推出“对所有X，函数Y=F（X）都大于0。”所以有“或也者，不尽也。”但反过来，“所有X，函数Y=F（X）都大于0。”可以推出“存在一个数X，使函数Y=F（X）大于0。”因此可以这样说“尽也者，可或也。”

第二种：假者，今不然也。（参考高中数学选修1-2，2。2直接证明与间接证明）
“假”就是假设，并不是已经成立的事实。也就数学方法中的反证法。反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是：
　　第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；
　　第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；
　　第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。特别需要注意的是，在否定原命题时，如果原来的命题是一个特称命题，则它的否定应该是一个全称命题。反之，如果原命题是
全称命题，则它的否定是一个特称命题。例如：命题A：“所有白马都是马”的否定是命题B：“存在一匹白马不是马。”可见第二种方法，放在第一种之后，有其逻辑必然性。

第三种：效者，为之法也。所效者，所以为之法也。故中效，则是也；不中效，则非也；此效也。
（参考高中数学必修一，3。2函数模拟及其应用）
“效”就是摹拟法。大致相当于西方逻辑学的演绎法。假设一个一般命题为公式，就是假设它是“法”，以它来进行实验，就是来“效”它这个“法”。假设的原因产生了预期的结果，就是“故中效”。不产生，就是“不中效”。用这种方法，可以检验一个故是真是假。假设我要证明“上课做笔记能提高学习成绩。”我们就把这句话当成一个公式来做实验。如一个班级A都要求做笔记，另一个班级B都不做笔记。如果A班的成绩高与B班，就说明这个命题是正确的，否则就是错误的。这就是演绎推理。简单讲，就是判断一个一般命题是否正确，可以把它与事实印证，或用实验结果来印证。

第四种：辟也者，举他物而以明之也。（参考高中数学必修一.1.3.2函数的奇偶性）
“ 辟(譬)”的方法就是用一物来解释另一物就的方法。白居易的《荔枝图序》就用了这样的方法解释荔枝:
荔枝生巴峡间，树形团团如帷盖。叶如桂，冬青；华如橘，春荣；实如丹，夏熟。朵如葡萄，核如枇杷，壳如红缯，膜如紫绡，瓤肉莹白如冰雪，浆液甘酸如醴酪。大略如彼，其实过之。
在数学教学中我们也经常用到这样的方法.如在函数的奇偶性这一节的教学中.为了让学生理解奇函数图象关于原点对称.偶函数图象关于Y轴对称.而一个函数是奇函数,或者偶函数的前提是定义域关于零点对称.我常把自己的两条手臂来比喻成函数的图象.两臂都向上升,就是偶函数(身体就是Y轴).两臂都向下,同理也是偶函数.一臂向上,一臂向下,便是奇函数.最后可以收起一手,提问道:这样还是奇函数或者偶函数吗? 为什么?

第五种：佯也者．比辞而俱行也。（参考高中数学必修一，2。2互为反函数的两个图象）
“佯”的方法就是全面对比法。系统而详尽地对比把两个系列的问题，平行的比较下来。把相互对立或相关的事物合乎逻辑地联系在一起，加以对照，突出对立双方最本质的特征。如在学习指数函数与对数函数的性质时，可以通过以下表格进行全面的对比。

解析式	指数函数	对数函数
图象
定义域
值域
定点
奇偶性
单调性
对称性

第六种：援也者，曰：子然，我要独不可以然也?。（参考高中数学选修1-2，2。1合情推理与演绎推理）
“援”的方法是说：“你可以这样，为什么我独独不可以这样?”是类推法。类推法也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。其结论必须由实验来检验，类比对象间共有的属性越多，则类比结论的可靠性越大。类比法的特点是“先比后推”。“比”是类比的基础，“比”既要共同点也要“比”不同点。对象之间的共同点是类比法是否能够施行的前提条件，没有共同点的对象之间是无法进行类比推理的。如，圆有切线，切线与圆只有一个交点，切点到圆心的距离等于圆的半径；可以推测出，对于球，可能存在这样的面，与球只有一个交点，该点到球心的距离等于球的半径。

第七种：推也者，以其所不取之同于其所取者予之也。（参考高中数学选修1-2，2。1合情推理与演绎推理）
“ 推”的方法就是归纳法。这种由某类事物的部分对象具有的某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理。称为归纳推理。可以以“凡人皆有死”这个论断为例来说明。我们都会作出这个论断，因为我们知道凡是过去的人都已经死了．又知道现在的和将来的人与过去的人都是同一个类。所以我们得出一般的结论：凡人皆有死。在这个归纳推理中、我们用了“推”的方法。过去的人皆有死，这是已知的。现在的人皆有死，将来的人皆有死，这是未知的。所以，说“凡人皆有死”，就是把已知的归予同类之未知的，即“以其所不取之同于其所取者予之也”。我们能够这样做，是因为，现在与未来的人与过去的人在种类上是一样的。即‘是犹谓’也者，同也；‘吾岂谓’也者，异也。”意思是既然已经说他们是同类，我怎么能说他们不同呢?

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