群论学习笔记_3 第一章

2010-09-29 15:29阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1820553467

以下是关于韩其智的group theory的读书笔记，未经允许的引用是不道德的。
重排定理最终要的就是说u作用于G中不同元素的时候会给出不同的结果。应用重排定理要注意u一定要∈G。
如何判断群G的非空子集H是G的子群：如果H在自身内满足G的乘法规则而且具有封闭性和逆元的唯一存在性，则就可以判断H是G的子群。
从n阶有限群的任意一个元素a出发，总可以构造G的一个循环子群zk, zk={a,a2,…,ak=e}，因为不停地用a作用于a，重排定理保证最后的结果均不相同，这样一定可以遍历到e，最差的情况是如果G有n个元素则an=e。
划分有限群为一个个的不相交子集有两种常见方式：
一种是根据陪集定理，两个不完全相同的陪集之间没有公共元素，因此可以用子群的左（右）陪集串穷尽整个G，这种划分中每个陪集中的元素个数是相同的。并且群G的阶n=子群H的阶m＊陪集串的个数j。这个叫做Lagrange定理。所以阶为素数的群没有非平庸子群，因为无法分成n=m*j,的形式。
另外一种是根据群的共轭类划分，因为共轭关系具有传递性，所以一个类中的元素不论G中的任何元素作共轭都无法得到另外一个类中的任何元素。这里要声明所谓的f与h相互共轭应该指的是∀g∈G，都存在gfg－1=h。可以构造一个G的子群Hg={h∈G|hgh－1=g}，（证明只要注意到Hg中的元素都和g相互对易就很容易）然后用Hg之外属于G的元素做

陪集，而g类的元素的个数就等于群G按Hg分割陪集的个数。证明时要注意到所有能用共轭运算从G中元素得到g类中的元素的运算元素都属于Hg的某一个陪集，而每一个陪集中的元素都能作用于G中而得到g类的某一个元素，因此Hg的陪集串就穷尽了G。写的简明些就是：g类中元素个数＝G的阶/Hg的阶＝按Hg分割G的陪集的总个数。
如果G的某一个子群H，对于G中的任意元素的共轭运算都会得到H自己中的元素，不会共轭到H外面去，这样的子群叫做不变子群，所谓任何作用都不能改变。不变子群也有类似于重排定理的定理，即G中的任意元素共轭作用于H中一个元素一次并且仅仅一次给出H中的所有元素。
阿贝尔群的所有子群都是不变子群，因为所有的元素都是对易的，所以所有的共轭运算都会得到原来的元素。
因为不变子群的对应于同一个元素的左陪集和右陪集都是相同的并且两个陪集之间的元素的乘积一定属于另外一个陪集，可以证明不变子群的陪集串构成了一个群。定义新的乘法规则：gihgjh=gkh，单位元素就是这个不变子群，任何一个与此陪集串群同构的群称为不变子群H在G下的商群，记为G/H。
群和群之间的关系有1.同构，2.同态，3,一个是另外的一个的子群，4.没什么关系。同构说的是全等，在抽象代数的观点来看没有任何的区别。同态说的是相似，假如说一个同态映射是从G到F，那么F中的每一个元素都同构于G中同态核（同态核是G的一个不变子群）的一个陪集，也就是说商群G/H与F同构，形象一点说就像三角形的相似变换。
上面所说的是一个定理－同态核定理。同态核H是指的所有映射到F单位元素上的子集所构成的G的子群。证明时要注意到同态核内两个元素的乘积仍然映射到F中的单位元素，因此仍然属于同态核。G的单位元素仍然映射为单位元素，所以同态核中含有单位元素。利用反正法可以证明元素的逆也是唯一存在的。然后证明H中包含所有与某一属于H的元素相互共轭的元素，就可以证明H是G的不变子群。最后证明商群G/H与F同构：首先证明H的每一个陪集都对应F的一个元素，这只需要注意到H中的元素总是映射成F中的单位元素即可；其次说明H的不同陪集没有公共元素，这只需要注意到不同元素与H中单位元素相乘得到不同的结果，因此两个陪集至少有一个元素是不同的，由陪集定理可以知道他们只能是完全没有公共元素。最后要说明的是不同陪集所映射到F的元素是不相同的，这可以用反正法，只要注意到如果映射到F中的元素是相同的只能导致G中的陪集是完全相同的。由于所有的陪集穷尽了G，而且由于是满射，因此也穷尽了F，所以商群G/H与F是同构的。
自同构映射指的是群G到自身的同构映射。所有的自同构映射可以构成一个群，叫做自同构群A(G)。恒等映射是单位元，群的乘法定义为对群G顺次实行自同构映射，由于同构映射是一一对应的满射，所以同构映射的逆始终存在，并且唯一，所有的自同构映射都是得到原来的群，因此自同构映射的集合是封闭的，所以这构成了一个群。内自同构指的是自同构映射是由G的元素所引起的ugau－1。所有的内自同构映射也组成了一个群，叫做内自同构群T(G)。可以证明G的内自同构群是G的自同构群的一个不变子群。只要证明通过A(G)作用而与I(G)中元素同类的元素仍然有ugau－1形式即可，所以I(G)是A(G)的一个不变子群。
一个非空集合的X上的置换f指的是将X映入自身的一一满映射。所有置换操作f的全体构成了关于顺次操作的群的乘法下的完全对称群，恒等置换e是此群的单位元素，逆元素为逆置换。这里所说的置换即是通过某一操作对群之间的元素进行置换，因此对于X有n个元素的有限群来说，此完全对称群的阶数就是对全体元素进行完全排列的可能组合个数n!。完全对称群的任何一个子群叫做X的一个对称群，或者变换群。
对于一个群的完全对称群Sx有结论是Cayley定理，他声明群G同构于G的完全对称群的一个子群。证明这个只需要注意到重排定理使得g是G的一个一一满映射的操作，所以G是一个变换群，而Sx很明显不只包括G，所以只可能是Sx的一个子群同构于G。
变换等价说的是通过群G的变换可以相互得到的两个元素。同共轭相似等价也有对称性和传递性，由于恒等变换的存在也有自反性。X中所有与特定元素x等价的点组成的轨道成为含x的G轨道，这个轨道可能存在于无穷维甚至是不可数维空间中，完全取决于X和G的性质。X的G不变子集Y，是指X的子集Y，在变换群G的作用下，不会变到Y外面去。一个显然的结论是说X中的每一个G轨道是G不变的，几个轨道的和集也是G不变的。因为用G作用在G轨道上就相当于两个G中的元素作用于x，根据群的封闭性还是G中的元素作用在x上，所以得到的还是G轨道上的点。和集的问题就很显然了。当集合Y是G不变的时，G也是Y的对称群，这就相当于映射到自身了。
关于x（x是X内的一点）的迷向子群Gx指的是所有将x置换为x自己的G的一个子群（啊，就是都一棵树上吊死了）。这个子群并不总是存在的。有一个定理说的是含x的G轨道上的点，和Gx的左陪集之间有一一对应关系。这个定理是比较显然的，因为如果h属于Gx，g属于G，则gh作用于x只是相当于g作用而已，所以Gx的每一个左陪集就都对应于G轨道上的一个点。这样根据前面的Lagrange定理，含x的G轨道中的点的个数＝（G群的阶数/Gx群的阶数）因为左陪集中的元素个数是相同的。
直积与直和：直和的意思是简单的扩张空间的维数，而直积的意思是将不同空间的相同维度内的元素罗列在一起。因此｜r>=|x>|y>|z>，各个矢量之间的运算是直积。假如G1和G2构成直积群G，G1和G2分别在自己的空间内有乘法规则，相互间实际上不作运算，因此元素罗列的次序并没有关系，但是对于半直积则有很大关系。G1和G2常称为群G的直积因子，G1和G2没有必要分别为阿贝尔群。G的单位元素e是G1和G2唯一的公共元素。这可以通过反正法最后与G的每个元素都可以由G1与G2的元素唯一地罗列表示相矛盾而证明。还可以证明G1与G2都是G的不变子群，这只要证明任何与G1或G2同类的元素都被包含在了G1或G2之中就可以了，证明时要注意不同群间的元素的罗列顺序是没关系的。商群G/G1同构于G2，因为G1，G2之间实际上不做运算，所以G2哪一个元素与G1所构成的陪集就对应于G2的那个元素。
群的半直积：这个东西有一点绕。如果存在一个从G2到G1的自同构群A(G)的同态映射，就可以定义一个G1和G2的半直积群。群的乘法定义后面的运算为：<g1,对应于g2的同态映射到A(G)的元素对于g1'的自同构映射的元素（属于G1）,g2,g2'>，证明乘法满足结合律的时候韩其智的书似乎有错误，啊，公式太多就算了。哎以为用文字可以完成对数学的梳理结果发现还是不得不用公式。那证明G1是G的不变子群就不写了。
刘传波于2010年9月29日15：19
Ah, formation is always the problem, well that is quite noisy, but I still do not want to spend time in correcting it.

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