208 数学题中的盈亏问题
2011-06-08 14:25阅读：
在小学数学应用题中，有这样一类问题：已知有两种分配方案，一次分的有余，一次分配不够；或者两次有余或两次不足，求参加分配的数量及分配的总量。这类应用题，我们称之为盈亏问题。它也属于典型应用题之一，有它独特的解题思路。
例一：小朋友分橘子，如果每人分3个，就多出28个橘子；如果每人分5个，那么就差24个橘子。问有多少个小朋友？共有多少个橘子？
【分析：此题就是盈亏问题，属于一盈一亏。可以采用比较的方法，找出两次分配结果的差和两次分配数的差，先求参加分配的数量，然后再求出分配的总量。】
解：每人3个 多28个
每人5个
少24个
每次每人差2个 总共相差52个（28+24）
所以需要52÷2=26个小朋友
橘子的数量就是3×26+28=106（个）或：5×26－24=106（个）
通过分析和解题，解盈亏问题的基本方法：
两次分配结果的差÷两次分配数的差＝参加分配的数量
（或写作： 总差额÷每份差额＝人数）
然后，再根据条件，求出被分配的总数量。
根据两次分配的情况不同，总差额常常会有以下几种情况：
① 有余也有亏。 总差额＝余+亏
② 两次都余。 总差额＝大余－小余
③ 两次都亏。 总差额＝大亏－小亏
④ 一次余（或亏），一次正好分完。总差额＝余（或亏）
解答盈亏问题的关键是：找出两次分配结果的差和两次分配数的差，先求出参加分配的数量,再做其他。
例二：给敬老院里的老人分苹果，如果每人分11个，则要剩下
39个；如果每人分14个，则剩下12个。问共有多少个老人？共有多少个苹果？
【分析：此题是盈亏问题中两次都余情况。可以先求出总差额和每份差额，再用除法求出老人数，最后根据条件求出苹果数。】
解：每人分11个 多39个
每人分14个 多12个
每次每人相差3个 相差27个
所以有老人9人（27÷3=9）
苹果数是 11×9+39=138（个） 或
：14×9+12=138（个）
例三：用测绳量一座桥长，如果量5次还差80米；如果量7次还差10米。问测绳有多少米？桥长有多少米？
【分析：此题是盈亏问题中两次都亏情况。（两次都亏：总差额=大亏－小亏）可以直接求出测绳长，再根据条件求出桥长。】
解：量5次
少80米
量7次
少10米
相差2次
相差70米（80-10）
量一次的长度（即绳长） （80－10）÷（7－5）=35（米）
桥长 35×5+80=255（米） 或：35×7+10=255（米）
例四：学校买回一批小足球，如果每班分10个，则少12个；如果每班分8个，就正好分完。问学校买回了多少个小足球？共要分给几个班？
【分析：是盈亏问题中一次亏，一次正好分完情况。（一次亏，一次正好分完：总差额=亏）可以直接求出共几个班，再根据条件求出足球数。】
解：每班分10个
少12个
每班分8个
0
每班每次差2次 相差12个
班级数： 12÷（10－8）=6（个）
球数： 10×6－12=48（个） 或8×6=48个
例五：学校分配宿舍，如果每个房间住3人，则多出20人；如果每个房间住6人，则余下2人可以每人各住一个房间。现在每个房间住10人，可以空出多少个房间？
【分析：此题也是盈亏问题。难点在于：第二次分配房间时，只知道每个房间住6人，而“余下2人可以每人各住一个房间”的条件，数量关系是“盈”还是“亏”，并不明朗，这需要分析。从条件看来：第二次分配后，应当是还空出了两个房间，而人则不够（6×2－2）人（或者说每间房间分别少5人，共计少10人）。所以，第二次分配后，是亏了10人。由此：第一次分配，人数为“盈”；第二次分配，人数就为“亏”了。至此，一盈一亏，就可以根据“有余也有亏：总差额=余+亏”，顺利求出总差额了。全题可解。】
解：
① 房间数（20+6×2－2）÷（6－3）=10（间）
每间住3人
多20人
每间住6人
少10人（每间少5人，有2间）
② 有多少个人？ 3×10+20=50（人）
每间相差3人
差30人
③ 每间住10人，需要几间房？50÷10=5（间）
④ 可以空出几间房？10－5=5（间）
现在你可以解盈亏问题了，找一些题练练吧。解盈亏问题时要记住：基本公式是：总差额÷每份差额=人数；解题关键是：求出总差额与每份差额。求总差额时，有四种不同的情况，要区别对待。还要注意解一般应用题方法的熟练运用。
试一试：
1、今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？
题意：有一群人凑钱买一件物品。如果每人出8枚钱币，就比物价多出3个钱币。如果每人出7枚钱币，就比物价少4个钱币。求人数和钱数各是多少？
2、今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。问人数、羊价各几何？
题意有若干人共同买羊，如果每人出5枚钱，则还缺45枚钱；如果每人出7枚钱，则仍缺3枚钱。求买关的人数和羊价分别是多少？
3、今有散钱不知其数，作七十七陌穿之，欠五十凑穿；作七十八陌穿之，不多不少。问钱数几何？
题意：有一些零散的钱币，如果每77枚穿成一串，那么还会剩50枚没穿；如果78枚穿成一串，正好穿完。这些钱币共有多少枚？
