“毕达哥拉斯定理”的前世今生

2014-05-15 11:25阅读：

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爱上数学，从感受数学美开始。
让我们走进精彩纷呈的数学文化世界；让我们穿越时空，奔赴与数学先哲的心灵之约，聆听他们平凡而又不平凡的故事。

“毕达哥拉斯定理”的前世今生
□大洪老师
据传说，公元前6世纪古希腊毕达哥拉斯学派为了庆祝一个定理的发现而宰杀了百多头的牛以祭祀第六感女神——缪斯女神。同情弱者的诗人海涅特意赋诗一首向世人诉说牛的不幸，控诉残忍的屠夫。
到底是什么定理，竟让牛和数学家结下了千古仇怨呢？
这便是西方以毕达哥拉斯来命名的定理：直角三角形斜边上的正方形面积等于两条直角边上正方形面积之和。如【图1】在直角三角形ABC中，斜边长度记为c，两条直角边的长度分别记为a、b，三边的关系则有：

。

毕达哥拉斯是如何发现勾股定理的？数学史学家们作了一些推测，其中最可信的一种如【图2】所示。这种方法目前是世界各国数学教材采用最多的方法。

莫道君行早，更有早行人。
实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，并且都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的，可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上啦！
在中国，流传至今的一部最早的数学著作《周髀算经》中就记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代（约公元前16世纪—公元前11世纪）由商高发现，故称之为商高定理。由于中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。而更普遍地则又称之为勾股定理。三国时代的平民数学家赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，如【图3】所示：

将相同的四个涂有阴影的勾股形和一个边长为勾股之差的白色正方形拼成两个分别以勾和股为边长的正方形。然后移动其中两个勾股形，将原图另拼成以弦为边长的正方形。由于前后两图面积不变，因此勾股定理得到了证明。
时光流逝，斗转星移，可是人们对勾股定理的兴趣却不曾改变，其证明方法至今已多达近400种。其中有不同时空数学家的贡献，也有艺术家和政治家的神来之笔。
伟大的物理学家爱因斯坦12岁时，一位名叫雅可比的叔叔给他讲述了勾股定理。经过一番努力后，爱因斯坦利用三角形的相似性证明了定理。成功的体验使他对几何学产生了特别的兴趣。
如【图4】，过B点作AC的垂线，垂足为D。

∵△ABD∽△ACB，∴AB:AC=AD:AB,即

又∵△BCD∽△ACB，同理可得：BC:AC=CD:BC,即

∴,即

，即

。
著名艺术大师达芬奇利用【图5】中的四边形ACPN、MPCB、AFEB和GFED两两完全相等，轻而易举地证明了这个定理。

【图5】达芬奇对勾股定理的证明
1881年当选美国第20任总统的加菲尔德早在1876给出了勾股定理的一种十分漂亮的证明：如【图6】所示：

直角梯形面积等于

；另一方面，它又是由两个同样的直角三角形和一个等腰直角三角形所组成，面积和为

。于是有

，化简可得：

。从而征得勾股定理。
在英国伦敦有一个名叫波里加尔的牧师，临终的时候，他嘱咐儿子把他发现的勾股定理的证明——今称“水车翼轮法”如【图7】，刻在他的墓碑上。

一位牧师，年近百岁，回首一生，惟有勾股定理让他割舍不下。没有比这更能说明数学的无穷魅力了。
同学们，你还知道其它的证明方法吗？赶紧去找一找吧！或许在搜索和学习中，你就会发现新的证明方法，成为另一个爱因斯坦哦！
勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，下面3题你能解答吗？
1. 今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深几何？（提示：一丈=10尺）（选自《九章算术》）

2. 下图是一块正方形木板，它被分成了四个完全相同的直角三角形和一个小正方形即阴影部分，每个直角三角形的两条直角边的长均分别为3和5。小明向该木板投镖，假设每次都能击中木板，则击中阴影部分的可能性是多少？

3. 长亭外，古道边，梁山伯和祝英台在话别。他们从万松书院出发沿着古道向北行了24米，然后又向西行了20米，接着又向北行了36米，再向西行了40米，最后又向北行了20米到达长亭。那么万松书院到长亭的直线距离是多少米？

参考答案：12尺、

、100米

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