期权估价：从原理去理解【zz】
2013-10-16 01:20阅读：
期权的估价原理：复制原理和风险中性原理
教材上是分成3个估价原理介绍，其中套期保值原理，实质上跟复制原理是一样的，为便于记忆，这里统一称为复制原理。
本文将先讲述整个期权内容的逻辑架构，然后再详述2个原理的应用.
逻辑结构的部分比较艰涩，并且涉及一些概率论的基础，所以如果太难看明白的同学可以跳过去，直接看两个原理的应用部分，相信对于你理解2个原理的推导过程以及如何应用会有一些帮助的。
第一部分：逻辑架构
我们要给期权估价，首先要知道它的价格取决于那些因素。除去一些基本的已知因素如标的资产的当前价格，期权的执行价格、无风险利率等等之外，期权的价格主要取决于标的资产的到期日价格，更准确地说，是到期日价格的分布。因为标的资产的到期日价格不是一个唯一确定的值，而是一个随机变量，否则期权就是去了意义。也就是说，即使是最简单的情况，标的资产的到期日价格至少也有2种可能。这就是我们讨论的起点。到期日价格的分布，有以下几种情形
（1）离散型分布：只有2种可能结果 ——
单期二叉树求解
（2）离散型分布：2种以上可能结果
—— 多期二叉树求解
（3）连续型分布：无限个且连续的结果 —— BS模型求解
上述三种情形是从最简单到最复杂的一个渐进过程，其解法也是对应的从最简单的单期二叉树到最复杂的BS模型。其中单期二叉树模型是最基本的模型，后边的多期二叉树以及BS模型都是从单期二叉树推导出来的。多期二叉树是单期二叉树的期数增多的情形，BS模型是多期二叉树的期数无限增多的情形。
所以，只要我们掌握了单期二叉树模型，后边的2个模型也就很好掌握了。多期二叉树只不过是分成了数期单期二叉树，我们可以一期期地分步求解。而BS模型的推导过程比较复杂，我们只需要知道它的逻辑过程是从多期二叉树期数无限化而来，应用时直接套用公式即可。所以我们进一步得到3种解法
（1）单期二叉树求解： 应用估价原理
—— 直接求解
（2）多期二叉树求解： 分解成单期二叉树
—— 使用（1）的思路分步求解
（3）BS模型：
把参数直接代入公式求解
到这里，我们的问题已经很简单了，我们要掌握的就是：如何
“应用估价原理”
应用估价原理，还是回到我们开头所说的，需要知道标的资产到期日价格的分布。这个“分布”，是给期权估价所必须具备的一个已知条件，如果没有这个已知条件，神仙也无从估价。但是在不同的情况下，这个已知条件有不同的表现形式：
（1）直接给出分布：最典型的莫过于2种可能的离散型分布，直接告诉你上行价格和下行价格，这样我们就可以构造单期二叉树直接求解
（2）只给出标准差：典型的如多期二叉树模型和BS模型。没有直接给上下行价格，就不能直接求解了。这时我们必须先模拟标的资产价格的变化过程，以得出到期日价格的分布。这个模拟过程是通过构造上行乘数和下行乘数来实现的。必须说明的是，在给定标准差下进行价格模拟时，所使用的上下行乘数不是任意的，而是必须受到限制，否则模拟出来的结果的实际标准差就可能不等于题目给定的标准差（也就是违背了已知条件）。所以，上下行乘数实际上受到给定标准差的限制，具体的关系就是教材上的公式，此处不赘述。
第（2）点说得比较罗嗦，其实就是为了说明这样一个逻辑关系：当题目没有直接给出价格分布而是只给标准差时，我们需要构造上下行乘数来模拟价格变化过程，以得出到期日价格的分布。也就是说，我们构造上下乘数的目的是求出到期日价格的分布。而如果题目已经直接给出价格分布，我们直接应用“估价原理”就可以求解了，当然就没必要再回过头去模拟了。大家要弄清楚这个目的和手段的关系，不要本末倒置。
另外，这里还要详细说明一下上下行乘数与标准差的关系，就是教材中上下行乘数的那两个公式。从公式可知，上下行乘数互为倒数，乘积为1。在利用给定标准差构造上下行乘数的情况下，这个现象不是巧合，而是一个很严密的逻辑。有了乘积为1的限制，才能使得模拟出来的价格分布的实际标准差等于构造上下行乘数时所使用的给定标准差（即题目的已知条件），即保证了结果不与已知条件相矛盾。上下行乘数与标准差的这种关系，只有在期数无限的情形下才严格地成立。多期二叉树模型使用这个关系，得出的期权价格只是一个近似的结果，期数越多，其结果越近似于BS模型的结果（即期数无限时的结果）。既然是在期数无限多的情形下成立，那么这个期数无限多到底有什么意义呢，其意义就在于期数无限的情形下，股价变化是连续的，而只有股价变化是连续的，其每一期的变化的方差才等于连续复利收益率的方差×t，概率论功底比较深厚的同学可能比较容易理解这个意思，其他同学不必深究，知道这个逻辑过程就可以了。这一段话也很罗嗦，主要是为了说明上下行乘数之积等于1的实际意义，它是标的资产的到期日价格是连续分布的情形下必然存在的一个限制（具体怎样限制取决于给定的标准差），对于离散型分布的情况就不适用了。因为离散型分布不可能分无限期去模拟，而且不存在所谓的连续复利收益率的标准差，因为它本身就不是连续的，所以它的上下行乘数不包含连续复利收益率的标准差，当然也就不存在所谓的乘积等于1的问题了。当然这不是说离散型分布下上下行乘数之积一定不等于1，而是说它可以等于1，也可以不等于1，没有连续型分布情形下那样的限制。
第二部分：估价原理的应用
1、 复制原理：
复制原理的基本逻辑是：损益相同的资产，它们的成本也相同。所以我们只要找到一个与期权的损益完全相同，并且其成本相对容易计算的资产组合，这个资产组合的成本就可以作为期权的成本。实际上，更严谨地说，应该是“未来现金流量完全相同的资产（包括它的风险也相同），它们的价值也相同”，这才符合财务管理的价值观念。
那么，现在的问题就是如何去构造这个损益相同的资产组合？
以教材258页例题10-9的数据为例，已知上、下行价格分别为66.66和37.50，那么执行价格为52.08的期权的损益是
MAX（14.58，0），也就是说，当股价为66.66时，损益为14.58，当估价为37.50时，损益为0。因此，我们一个很自然的逻辑就是假设要构造的资产组合的损益与股价之间存在某种函数关系，该函数关系的唯一条件是满足当股价为66.66时，损益为14.58，当估价为37.50时，损益为0.
我们自然选择最简单的线性关系（当然你也可以选择其他更复杂的关系，只要该关系满足上述条件，在最简单的线性关系就能满足条件的情况下，选择线性关系是符合逻辑的）。
所以我们设资产组合为y，股价为x，则他们的关系可以表示为y = ax + b
当x=66.66时，有 14.58 = a×66.66+b
当x=37.50时，有 0
= a×37.50+b
解得 a = 0.5 b= —
18.75
所以资产组合y里有0.5股股票S，同时在到期日时要支付18.75（因为是负数），这个支付的18.75，我们可以理解为偿还债务。那么现在的问题是，这个资产组合的成本是多少呢？0.5股股票的成本很简单，就是0.5×当前股价50=25，剩下的是到期日偿还的18.75的债务的成本是多少，这就要确定该债务的利率。该利率必然是无风险利率，因为无论估价是66.66还是37.50，该资产组合在到期日的净值都足以偿还18.75，也就是说，该债务是可以足额偿还的，因此是无风险的，因此它支付的利率只能是无风险利率。如果它支付的利率低于无风险利率，则它借不来钱，该组合实际上不可行；如果它支付的利率高于无风险利率，则会出现无风险套利机会，这是不允许的。所以，该债务的利率只能是无风险利率。这样，我们把18.75用无风险利率折现，就得出了该债务的成本18.75/1.02。最后，总成本就等于0.5股股票的成本减去债务的成本，50×0.5
— 18.75/1.02=6.62
可见：复制原理的应用就是解一个直线方程，是不是很简单呢？
从上述过程，大家可以看出，这个a就是套期保值原理中的H，所以说复制原理实际上与套期保值原理是一样的，复制原理是一个非常基础的原理，它同样可以应用于看跌期权的估价。
2、风险中性原理
风险中性原理的逻辑是：将期权的现金流量去风险化，即将原始的现金流量化为无风险的现金流量，然后用无风险利率来折现已经去掉风险的现金流量，就得到了期权的成本。
折现是一个很简单的计算，所以我们的重点是如何将期权的原始现金流量去风险化。
期权的原始现金流量是max（股票市价-执行价格，0），这是一个有风险的现金流量，因为它是它的标的资产的价格随机行走的结果。
我们还是以教材258页例10-9的数据为例，来说明去风险化的过程。在给定的条件中，我们知道了股票S现价是50，期权执行价52.08，股票在到期日的价格有两种情况Su=66.66，Sd=37.50，它们对应的概率是未知的，我们分别记为上行概率和下行概率。
现在，我们假设股票S是一个无风险资产，那么它的必要报酬率必然是无风险利率2%（半年），也就是说，半年后无风险的股票S提供的现金流量是
50×（1+2%）=51，这个现金流量就是无风险的现金流量。
然而事实上，股票S是有风险的，它的真实现金流量是
66.66×上行概率+37.50×下行概率，那么，这个真实现金流量在什么情况下与无风险的现金流量51等值呢？联立方程组：
66.66×上行概率+37.50×下行概率=51
上行概率+下行概率=1
解得： 上行概率=0.4629 下行概率=0.5371
这解出来的这两个概率有什么意义呢，意义就是在这样的概率下，股票S的现金流量与无风险现金流量是等值的。也就是说，在这两个概率下，现金流量实现了去风险化，这时，在该概率下对应的期权的无风险现金流量就应该是：
（66.66-52.08）×0.4629+ 0 ×0.5371=6.75
然后把这个无风险的现金流量用无风险利率2%折现=6.75/1.02=6.62
至此，题目得解。
