关于世纪难题“庞加莱猜想”被破解
2011-07-02 09:01阅读：
国际数学界关注了百年之久的重大难题——庞加莱猜想（Poincare
conjecture）日前宣告被两位华人数学家——曹怀东、朱熹平最终破解.在美国出版的《亚洲数学杂志（Asian Journal of
Mathematics）》6月号以专刊的方式发表了二位作者题为《庞加莱猜想暨几何化猜想的完全证明：汉密尔顿—佩雷尔曼理论的应用》长达328页的论文，向世界推出了这一重大成果.6月3日，专程从美国赶来北京的国际著名数学家、哈佛大学讲座教授、美国国家科学院院士、中国科学院外籍院士、菲尔兹奖和克雷福德数学奖得主丘成桐教授，在中科院晨兴数学研究中心公布了这一喜讯.两位作者中的曹怀东是美国里海大学教授、清华大学讲座教授，另一位朱熹平是中山大学教授.
1904年，法国数学家庞加莱提出著名的“庞加莱猜想”：在一个封闭的三维空间，假如其上每条闭曲线都能连续收缩成一点，那么这个空间一定是三维的圆球
.（后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”.）这是拓扑学的重大难题，百余年来吸引了世界无数数学家竞相钻研，2000年更被美国克莱数学研究所（Clay Mathematics
Institute）列为奖金各百万美圆的“七大世纪难题”之一.
丘成桐：庞加莱猜想比哥德巴赫猜想更重要
在接受记者专访时，丘成桐介绍说，庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流，它的证明将会对数学界关于流形性质的认识，甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响.庞加莱猜想和黎曼猜想共同被认为是数学领域最著名的两个猜想.几乎所有数学家都梦想解决这两个问题.
庞加莱猜想到底为什么那么重要呢？丘成桐说：“因为三维空间是人类生存的空间，地球、宇宙都是三维空间，我们必须深入了解自己生存的空间.三维空间的许多变化，我们看不到，但是可以从理论上来猜测和证明，所以对三维空间的拓扑和几何结构的了解，是一门伟大的科学.庞加莱猜想是这门科学中的一个重要问题.”丘成桐指出，与公众比较熟悉的哥德巴赫猜想相比，庞加莱猜想更为重要.“至少到目前为止，哥德巴赫猜想是比较孤立一个问题，而庞加莱猜想则是影响人们对整个几何学了解的一个大问题.”他解释说，数学研究的主要对象有三个，一是数字的研究，比如1、2、3、4、5等等；二是拓扑学和几何学，如中学生学的平面几何、立体几何，数学家研究的更为高深的几何；三是函数，就是方程的变化. 庞加莱猜想是第二个领域里面最重要的问题，
解决这一问题时用到了函数和方程，也就是用第三领域的方法解决第二领域的重要问题.所以，猜想的证明，对于几何和函数的发展都有贡献.“不仅如此，庞加莱猜想还将对物理学和工程学都产生深远的影响.”丘成桐说：“比如，物理学要研究液体，工程上要研究深海工程，都会遇到三维空间的控制.我们认为这一方法对物理学和工程中的三维空间的研究是一个重要贡献.”
庞加莱猜想证明的百年艰辛
高维庞加莱猜想的证明比低维庞加莱猜想要容易一些.20世纪60年代初，两位美国数学家斯梅尔（Smale）和斯特林（Stallings）发表论文，证明了五维及五维以上的庞加莱猜想，斯梅尔因此获得1966年的菲尔兹奖，但这种方法无法用于证明三维和四维空间庞加莱猜想.1983年，美国数学家弗里蔓（Freedman）发表论文，证明了四维庞加莱猜想，因此获得1986年的菲尔兹奖，但这种方法也无法再向前推进.
丘成桐说，解决庞加莱猜想有几种不同途径，刚开始是拓扑学的方法，即所谓切割方法，但这个方法到20世纪70年代就很难再进一步了.1978年，美国数学家瑟斯顿（Thurston）引进几何结构的方法来做切割，这个方法很重要，他因此获得1983年的菲尔兹奖，但这个方法也无法再向前推进.
1972年，丘成桐和李伟光发展出用非线性微分方程的方法来研究几何结构，丘用这个方法证明了卡拉比猜想和复几何上的庞加莱猜想.由此，他知道几何分析方法有助于庞加莱猜想的解决.1982年，康奈尔大学的汉密尔顿（Hamilton）发表一篇文章，提出一种新方程来构造几何结构.但汉密尔顿是用微分方程的方法来做的，不同于瑟斯顿的几何结构方法.丘成桐看出其中的重要性，建议汉密尔顿用他和李伟光的几何分析方法来做庞加莱猜想和三维空间几何化的问题，同时，让自己的4位博士生开始这个研究，曹怀东就是其中一位，他的博士论文就是这方面的工作.丘成桐的另两位中国学生也对这项工作有着奠基性的贡献，其中一位是来自中科院数学所的施皖雄.
汉密尔顿研究过程中遇到一个重要问题：在用曲率方法推动空间变化时遇到了奇怪的点，如何处理奇异点就成为整个庞加莱猜想证明中最重要的一部分.
处理奇异点发生是几何分析上的问题，丘成桐和李伟光刚好发现了一种处理非线性微分方程的方法.于是，丘成桐建议汉密尔顿一试.后来，汉密尔顿花了很多功夫将这种方法用在他的方程上，得到了重要结果.1993年，汉密尔顿发表一篇重要论文，开始对奇异点问题有了深刻了解，但如何切掉奇异点又是一个新的困难.“因为奇异点的产生有很多种，多姿多彩，必须掌握控制它们的方法，这需要很多仔细的分析和几何结构上的研究.”丘成桐解释说.
1995年，丘成桐看到了解决庞加莱猜想的大趋势，他邀请汉密尔顿到中国讲学，并向我国数学界发出“全国向汉密尔顿学习，一定会有成就”的口号，但最后，只有朱熹平响应了.此前，1994年，朱熹平在香港中文大学数学研究所的讨论班上遇见丘成桐.1997年，丘成桐建议朱熹平精力集中到庞加莱猜想的证明上.之后，丘成桐每年邀请朱熹平到香港中文大学工作一段时间，其间他们有许多讨论.
2002年11月，俄罗斯数学家佩雷尔曼（G.Perelman）在网上公布了一个研究报告，声称证明了由瑟斯顿25年前提出的有关三维流形的“几何化猜想”证明纲领的一些想法，而庞加莱猜想正是后者的一个特例.4个月后，他在网上发布第二份报告，介绍了更多的证明想法.但如何实现这些想法是近三年来国际数学界极其关注的课题.
就在佩雷尔曼公布其研究时，朱熹平对庞加莱猜想的研究也有了部分的结果.竞争非常激烈，丘成桐让曹怀东2003年夏天开始和朱熹平合作.2005年，二人解决了最后的问题.
丘成桐介绍说，在曹怀东、朱熹平的工作宣布后，数学家Kleiner与Lott也公布了他们的成果，他们的方法与曹、朱的方法有所不同.要理解他们的笔记还需要一般时间，因为其中几个关键问题仍然非常粗略.
一个长江后浪推前浪的故事
2005年初夏，丘成桐建议邀请朱熹平到哈佛数学系访问半年，获得数学系全体教授一致同意.当年9月，朱熹平来到哈佛大学，他的主要任务就是向专家讲解他们的证明论文.从这时起到 2006年3月，朱熹平每周在哈佛大学向包括丘成桐、哈佛系主任在内的五六位（其中三位美国科学院院士）教授分两次讲3个小时，共讲70多个小时.丘成桐说：“这么大的问题，用2到3个小时是讲不明白的.朱熹平小心地花了几十个小时来讲，这不是件容易的事.”
庞加莱猜想最后证明所用的方法与拓扑学的关系并不大，而是用了丘成桐和他朋友们在30多年前发展的几何分析方法.谈到数学家们对庞加莱猜想证明的贡献，丘成桐说：“庞加莱猜想的解决是多位科学家共同努力的结果，从我的朋友瑟斯顿开始，到汉密尔顿，再到佩雷尔曼先生，他们的贡献都非常大.最后一步是两位中国数学家完成的，就像盖了大楼，从基础开始，还没有封顶，他们的工作就是封顶.”他说“汉密尔顿是整个庞加莱猜想证明过程的主帅、领导人，他是一个伟大的数学家，是我所能看到的少数具有原创性的数学家之一.佩雷尔曼先生增加了很重要的部分，朱熹平和曹怀东解决了最后的问题，他们为这个问题封了顶.”他评论说：“这不是一项普通的成就，是大成就.中国人做出这么好的工作，我为中国骄傲！”
这是一个长江后浪推前浪的故事.丘成桐说：“好的学问都是年轻时做出的.在整个几何分析法上，我花了很多功夫.在这方面我是一个领袖人物.我一直很想做庞加莱猜想，做了很久，也用了很多方法，但最后没办法做出来.这很艰难.我的学生能做出这样好的工作，我当然很高兴.这是可以在历史上留名的工作，希望借此将整个中国数学界的风气改正过来.做数学就要真正对数学本身有贡献，而不是为后面的荣誉和名利.”
