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间的关系由微积分基本定理确定。
\begin{matrix} \int f(x)dx = F(x)+c\end{matrix}
其中 \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix} 是 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix} 的不定积分。这样，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。

目录

例子

函数 \begin{smallmatrix} K(x)=\frac{2^x}{\ln2} \end{smallmatrix} 是函数 \begin{smallmatrix} k(x)=2^x\! \end{smallmatrix} 的一个原函数，但实际上 \begin{smallmatrix} k\! \end{smallmatrix} 的原函数有无穷多个。与 \begin{smallmatrix} K\! \end{smallmatrix} 相差一个常数的函数都是 \begin{smallmatrix} k\! \end{smallmatrix} 的原函数，因为常数函数的导数为零，例如： \begin{smallmatrix} \frac{2^x}{\ln2}+\ln2,\ \frac{2^x}{\ln2}-e^\sqrt{\pi} \end{smallmatrix} 。函数族 \begin{smallmatrix} \left\{\frac{2^x}{\ln2}+C\;| \;C\in\mathbb{R} \right\} \end{smallmatrix} 称为函数 \begin{smallmatrix} k\! \end{smallmatrix} 的原函数族，也就是 \begin{smallmatrix} k(x)=2^x\! \end{smallmatrix} 的所有可能的原函数的集合，其中 \begin{smallmatrix} C\! \end{smallmatrix} 叫做积分常数。从图像上来看，这是 \begin{smallmatrix} K(x)=\frac{2^x}{\ln2}\! \end{smallmatrix} 垂直平移后得到的一组函数，几何上的解释就是它们在 \begin{smallmatrix} x\! \end{smallmatrix} 轴同一点上的斜率都是一样的。

性质

微积分基本定理

不定积分的一个重要应用是计算定积分，微积分基本定理建立了两者间的关系。
微积分基本定理：如果 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix} 是闭区间 \begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix} 上的连续函数， \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix} 是 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix} 在 \begin{smallmatrix} [a,b]< \end{smallmatrix} 上的一个原函数，那么
\int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x = F(x)|_{a}^{b} = F(b) - F(a)
证明：取区间 \begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix} 的一个分割： \begin{smallmatrix} a = x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n = b \end{smallmatrix} ，又设 \begin{smallmatrix} \Delta x_{i} = x_{i+1} - x_{i} \end{smallmatrix} ，根据拉格朗日中值定理有
\begin{matrix}F(x_{i+1}) - F(x_{i}) = F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i}\end{matrix}
所以
\begin{align} F(b)-F(a) & = \sum_{i=0}^{n-1} (F(x_{i+1}) - F(x_{i})) \ & = \sum_{i=0}^{n-1} F^\prime(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \ & = \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} \end{align}
\begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix} 在闭区间 \begin{smallmatrix} [a,b] \end{smallmatrix} 上连续，故黎曼可积，于是
\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(\xi_{i}) \cdot \Delta x_{i} = \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x
于是：
\begin{matrix} \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x = F(b) - F(a).\end{matrix}
因此， \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix} 的原函数族中的每个函数都可以叫做 \begin{smallmatrix} f \end{smallmatrix} 的不定积分，简写作 \begin{smallmatrix} \int f(x)\, \mathrm{d}x. \end{smallmatrix} ，因为在计算定积分时，积分常数在相减时消掉了。如果 \begin{smallmatrix} F \end{smallmatrix} 定义在几个不同的区间上，那么每个区间上的积分常数可以互不相同。例如
\begin{matrix}F(x)=\begin{cases}-\frac{1}{x}+C_1\qquad x0\end{cases}\end{matrix}
就是 \begin{smallmatrix} f(x)=\frac{1}{x^2} \end{smallmatrix} 的不定积分的一般形式。它的定义区间是 \begin{smallmatrix} (-\infty,0)\cup(0,\infty) \end{smallmatrix} 。

积分上限函数

什么样的函数具有原函数是微积分理论中的基本问题。首先，每个连续函数都有原函数，并且由上面可知，原函数的个数是无限个。其次，对于一个有原函数的函数，它的原函数族中在某点取某个特殊值的只有一个。特别来说，对某个点 a， f恰有一个在 a上取值为零的原函数，它可以表示为如下的积分上限函数：
F(>

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