法玛五因子定价模型
2021-01-07 13:37阅读：
法玛五因子定价模型
五因子模型直接捕捉了规模，价值，盈利能力，以及投资在平均股票回报方面强于三因子的回报率。五因子模型的主要问题是他没有捕捉到小市值股票（投资很多带式低盈利能力的小市值）的低回报率。模型表现对因子的组成方式并不敏感。再有了盈利能力以及投资之后，法玛三因子中的价值因子在描述样本平均回报率方面变得冗余。
1.介绍
有很多证据证明平均的股票收益率与公司账面/市值（B/M）比率相关。也有证据表明盈利能力以及投资对B/M所创造的组合平均收益率的描述有提升。我们可以使用现金流贴现模型解释为什么这些变量是与组合平均回报率有关系。模型认为股票的市值是由公司的未来现金流贴现定价的：
在这个公式里，mt是股票在t时刻的价格，E（dt+T）是在未来t-T时间段的股利分红，r是（大致的）长期平均股票预期回报率（或者更准确一些，是预期分红的内部收益率）。
公式认为在t时刻，两家公司拥有相同的预期分红回报率带式不同的价格，那么有更低价格的股票会拥有更高的（长期）预期回报率。如果定价是理性的，那么低价格公司的未来分红就一定会有更高的风险。但是，从公式得到的这个对未来判断的预测也是关于市场到底理性还是非理性的问题。
通过一点调整，我们可以把公式中的预期回报率，预期概率，预期投资以及B/M的隐含意义提取出来。Miler以及Modigliani1961年的研究发现在t时刻，全市场的价值隐含在如下的定价公式中。
公式2中的Yt+T是在t-T时期内的总权益利润。dBt+T=Bt+T-Bt+T-1是总账面权益的变化率。处以t时刻的账面价值得到：
公式3对预期股价收益率有三个推论。第一是如果只让股票价格（Mt）与预期收益率（r）可变，那么更低的股价（更高的B/M比值）意味着更高的预期收益率。第二如果只让未来利润以及预期回报率可变，那么更高的预期利润意味着更高的预期收益率。第三，如果B，M，预期盈利固定，更高的账面权益的增长（投资）则意味着更低的预期回报率。换句话说，B/M是一个更有噪音的未来收益率的隐含变量而且会被未来的盈利以及投资预期变动影响。
第三条结关于预期盈利以及投资的隐含关系已经被学界发现。Novy-2012年发现了预期盈利能力这个代理变量和平均回报率高度相关联。Aharoni，Grundy以及Zeng在2013年记录了相对微弱但是统计上可靠的关于投资与平均收益率的关系
(See
also Haugen and Baker 1996, Cohen, Gompers, and Vuolteenaho 2002,
Fairfield, Whisenant, and Yohn 2003, Titman, Wei, and Xie 2004, and
Fama and French 2006, 2008.)
现有的证据也隐含关于盈利能力以及投资的收益率的变化也不能被法玛三因子模型的市值，规模以及账面价值因子所解释。
很多已知的“异象”变量都导致了三因子模型的问题，所以问为什么我们选择盈利能力以及投资因子来补充模型是有道理的。我们的答案是这是公式1和公式3
的自然选择。Campbell以及Shiller在1988年强调公式1是自说自话的“套套理论”，而公式3又是直接来自公式1，所以也可能“套套理论”。绝大多数的研究专注短期回报率，我们也用的是月度的测试周期。如果股票短期预期回报率与内部收益率正相关，再如果预期回报率对所有时期都是一致的（估值公式认为所有股票横截面看到的收益回报率是有现在价格以及未来股利共同决定的），那么公式3里的现金流的拆分就意味着对于每只股票相关的预期回报率是由市净率（P/B）以及未来的盈利能力与投资决定的。如果变量并没有显性地与这个拆分相关来帮助预测（比如市值，动量因子）那么也一定是隐形地提高了预测盈利能力与投资，或者捕获了部分债券期限回报率结构的变化趋势。
我们分两步测试五因子模型。我们现构造由规模，B/M，盈利能力与投资因子的投资组合。正如1993年的三因子模型那样我们构造更为精细的因子排序。我们研究五因子模型是否比三因子模型更加善于解释显而易见的异象。我们也检验是否模型的失效与之前多重分类的共有问题有关，换句话说，是否不同异象都出现的资产定价问题是同一个现象。
我们在第一章节讨论五因子模型。第二章节检验模型的回报率规律。因子不同情景下的定义，统计总结在第三与第四章节。第五章节展示资产定价检验的汇总。第五章节的一个结论是：由规模，B/M，盈利能力以及投资组成的五因子投资组合可以提供一个对法玛三因子更好的平均回报比的描述。另一个结论是我们检验的资产定价模型并不对因子是如何组成的敏感，至少对我们的定义如此。另一个结论我们要提醒读者的事，加入了盈利以及投资因子后的三因子模型，其中的价值因子（HML）似乎在解释回报率时变得冗余。第六章节确认了大的平均HML因子被其它四因子，尤其是盈利以及投资因子的暴露所吸收。第七章节提供了定价的细节，尤其是截距与个因子的回归系数。其中一个有趣的结论是投资组合分类排序问题可能是一个原因导致的，就是喜欢投资但是不盈利的小市值股票的低回报率问题。与我们最相似的论文是Hou，Xue，
and Zhang（2012）的文章。我们在第八章对比我们之前的工作来讨论他们的工作。
2. 五因子模型
法玛三因子模型（1993）是为了捕捉市值（股票价格乘以股票数量）与平均收益率，B/M与平均收益率之间的关系。在1993年是，这两个解释平均收益率的著名的关系并没有被1964年Sharpe的CAPM模型与1965年的Lintner模型解释。
解释三因子模型的核心在于时间序列的回归。
在这个公式中，Rit是投资组合i在t时刻的回报率。Rft是无风险利率。Rmt是市值权重的市场组合回报率，SMB是分散的组合中的小市值回报率减去分散组合中的大市值的回报率。HML是分散的组合中的高B/M公司（高账面价值）回报率减去分散组合中的低B/M公司的回报率。e是正太的残值项。对待公式4的参数应当认为是真实参数而非估计参数。如果组合被b，s，与h因子被捕捉到所有预期回报率的变动，那么截距项a应该为0。
Novy-Marx（2012），Tieman, Wei, and
Xie（2004）以及其他人指出三因子模型在解释投资组合收益回报率不完整的模型，因为这三个因素并没有考虑到收益率以及投资。在这些证据及估值公式3的驱动下，我们增加了盈利能力以及投资因子在三因子模型上。
这个等式中，RMW是分散的组合中的强盈利能力股票的回报率减去分散组合中的弱盈利能力股票的回报率。CMA是分散的组合中的低投资股票（保守）回报率减去分散组合中的高投资（激进）股票的回报率。对五因子的暴露为系数b，s，h，r以及c。如果捕捉到所有的收益变化的话，那么公式5中的截距项a则应该为0。
我们认为可能有两个关于0截距假设的解释。第一个是Huberman and Kandel
(1987)首先提出的均值方差有效边界组合解释（包括市场组合，无风险资产，SMB，HML，RMW以及CMA所有资产）。更雄心勃勃的解释是把公式5作为Merton（1973）年的四个未特别说明的变量所导致的没有被市场因子吸收的风险补偿。在这个观点下，Size，B/M，OP以及Inv因子不能成为陈述变量，以及SMB，HML，RMW以及CMA不为陈述变量。而在法玛96年的论文思路里，因子是分散化的组合对不同未知状态的总和。与市场组合以及无风险资产一起，因子组合囊括相关的多因子有效组合。在这个情况下，估值公式3认为因子可以运足我们在为辨认出到底是什么变量的情况下捕获它们。
3.检验
我们的经验检测检验是否五因子模型以及模型所包括的因子，可以解释有Size，BM，盈利能力以及投资因子所组成的投资组合回报率。首先第一步是检验Size，BM，盈利因子，投资在平均回报中的规律。
表1面板A是25个市值加权，5个Size与5个BM因子独立全排序的超额月度收益率（超过一月期美国联邦债券利率的回报率）（我们称做5*5
Size-BM排序，或者小size与大size，与小市值大市值的分位回报率）。Size与BM因子分为点只用NYSE的股票，但是样本包括NYSE，Amex以及NASDAQ股票以及CRSP与Compustat的10与11代码下的数据。时间周期是1963年7月到2013年12月。法玛用这些组合评估法玛三因子模型并且我们在表1中也用了同样的数据外加21年的新数据。
在表1面板A的BM列中，平均回报率一般是按照从小市值到大市值依次降低。第一列（低BM极端成长股票），是唯一的特例，并且引人注目的是最小的小盘股的低平均回报率。对于其他的在最低BM列中的4个组合，Size和平均收益率并没有特别明显的关系。
BM与平均收益率的关系（账面价值效应），在表1中比较一致。在每个Size的行中，平均回报率随着BM增长而增长。而且众所周知，价值效应在小股票中更强。比如，第一行的微型股票中，每月超额收益率从低BM的0.26%增长到了高BM（极端价账面值股）的1.15%。作为对比，最大的股票平均超额收益只是从0.46%增长到了0.62%。
表1面板B展示25市值加权Size与盈利因子独立排序的组合回报率。5*5的排列和面板A几乎一样，只是BM换成了profitability。投资组合是6月开始，盈利因子是每年的企业利润减去产品生产成本，利息，SG&A成本，然后再除以前一年总账面价值。我们称这个为营运利润变量，OP。但是这个OP岩礁区利息。在我们的分类中，OP只用NYSE公司。
表1中25
Size-OP组合与Size-BM因子相似。在OP不变情况下，Size增加平均收益率下降。在OP的中间的分位区间中，这一规律是单调的，但是极端低与高OP分为区间，Size几乎完全是因为大市值公司的低回报率而被拖后。
Novy-Marx（2012）发现了盈利因子，其他的因子在表1的面板B中有证据。对于所有的Size分位区间，极端的高OP与更高的平均收益率。在每头四个Size分位区间中，中间的三个组合有相似的回报率，而最高的OP与最低的OP也对应高与低极端的回报率。在最大的size区间，平均回报率随着OP的增长温柔地增长。
表1中的面板C是25
Size-Inv组合的超额收益，和面板A相似。是同资产增长率除以同资产的因子。我们试过很多权益的增长的检测。总账面权益资产的检测和别的的检测的最大区别是资产增长因子产出更大的平均回报率差额。也许之后的总资产增长率是未来账面价值的折线的更好的代理变量而不是账面资产的增长率。
在每个Size区间，组合的平均增长率在最低投资区间比最高投资区间要高。到那时在睢县的size区间，几乎是因为最高Inv的平均回报率太低而导致size因素区别不太了。在最低的Inv四组中，均存在size的分层，也就是越小的市值股票反而越大的回报率。在最高的Inv区间，反而没有size层层，并且微型股票有最低的平均回报率，为0.35%每月。五因子回归表明在这一区间中的股票与小盘股低BM区间相似。具体地说，很大的负RMW因子以及CMA因子系数意味着他们的股票回报率与投资多但回报低的公司相似。这些低回报率组合对五因子模型来说是致命的。
公式3预测，在控制盈利因子与投资因子时，BM与平均回报率正向相关。而且有相似的条件平均回报率与盈利与投资相关。估值公式不预测BM，OP以及Inv效应在未正确控制的情况下与回报率有关联。而且，法玛1993年指出变量之间是相关的。高BM价值股去趋向有低的盈利与投资而低BM的成长股，尤其是大的低BM股，趋向于大量盈利并且激进投资。因为这些特征是相关联的，Size-BM，Size-OP与Size-Inv组合在表1并没有在平均回报率上独立出价值，盈利以及投资效应。
为了揭开平均回报率的纬度问题，我们决定按Size，BM，OP以及Inv来排列，甚至3*3*3*3排列。但是产出的81个并不分散化的组合并没有在资产定价模型里有好的检验能力。我们所以就只能用Size，以及其他的两个变量来排序。我们分两组Size（大与小），使用NYSE的中位数作为区分点，并且使用NYSE的分为点为另外两个因子排序。所以我们可以得到2*4*4=32组组合，但是特征之间的相关性导致了一个不平均的股票分配。比如说，
BM与OP因子是负相关的，尤其对于大公司，所以组合的股票高BM与高OP并不能很高的分散化。事实上，当我们对Size，BM以及OP独立排列时大公司在高BM以及OP的区间在1974年之前总是空的。为了让股票更加均分分布在2*4*4的排序中，我们使用另外的NYSE区间点来区分大/小公司在BM，OP以及Inv因子的组合。
表2表示对于32 Size-BM-OP组合的平均超额收益率，32 Size-BM-Inv以及32
Size-OP-Inv组合的收益率。对于小股票，在平均收益中存在很强的价值，盈利以及投资效应。控制OP与Inv因子，小公司的平均回报率与BM因子增大而增大。更高的Inv与更低的平均收益率相关。虽然弱，但是平均回报率对于大公司来说是相似的。
在检测五因子模型后，表2展示了致命的RMW与CMA系数的组合问题（表1的Size-BM与Size-Inv中讨论过）。在Size-BM-OP组合排序中，小公司在低BM与OP区间中有极低的月度超额回报率，0.03%每月。在附录中，我们记录了小市值公司组合和五因子RMW与CMA的负向关系（公司投资很多但是利润很低），即平均超额收益很低，但五因子却并不可以完全解释。在Size-OP-Inv组合中，小公司的组合在最低OP以及最高Inv区间有甚至更低的超额回报率，-0.09%每月。在这个案例下，五因子的系数简单确认了组合中的小市值公司投资多但利润低。
投资组合在表1和表2中并没有分解在公式3中的价值，盈利以及投资效应。但是我们可以看到他们在平均收益率变化的暴露上可以看到对资产定价测试检验提供了足够的挑战。
4.因子定义
为了检验是否因子的构成方式对于资产定价模型的检验有影响，我们在表1和表2中使用了三种因子组成方式来检测。检测的方法在表3中有细节。这里我们给一个简单的总结。
第一种因子的构成方法是补充了法码三因子，加上了用力因子以及投资因子。Size与value是使用独立排列，size分大小两种，BM分三种，所以是独立2*3排列。Size因子的分位点是NYSE的市值中位数，BM的分位点是30%和70%NYSE的BM分位点。所以两个因子的交叉创造了6个市值权重的组合。Size因子，SMB，是将三个最小的投资组合回报率减去三个最大的投资组合回报率。value因子HML是最大的两个高BM组合回报率的平均数减去最低的BM组合的平均数。同等情况下，这是大小价值公司的大小市值平均数组成的投资组合。
盈利以及投资因子是2*3排序，RMW与CMA的构造也是和HML因子一样的方法，只是除了第二种排序是在OP因子（RMW）和Inv因子（CMA）上。类似HML因子，RMW与CMA因子可以被认为是大公司和小公司的平均盈利与投资因子。
对RMW与CMA的2*3的排列产生了2个多出来的Size因子，SMBop与SMBinv。2*3排列而来的Size因子SMB是SMBbm，SMBop与SMBinv因子的平均。同样的，SMB是9种小市值投资组合（3个2*3组合出现的9个SMB组合）的平均数。
在我们组成三因子模型是，我们并不考虑其他的SMB与HML的因子定义。但是Size与BM的2*3排列是有些武断。为了检测资产定价结果，我们建立了SMB，HML，RMW与CMA因子，和之前的2*3排序的逻辑是一样的。但是对于Size，BM，OP，Inv因子的2*2排序我们只是用了NYSE的中位数作为分位点。
因为HML，RMW以及CMA的2*3（或者2*2）排列对待大小公司的投资组比例合分配是取平均值的，所以他们对于Size因子可能是中性的。但是因为HML是没有在控制OP，Inv因子下建立的，所以盈利与投资因子对于HML来说并不是中性的。这可能意味着平均的HML回报率是和BM，盈利以及投资的混合溢价。
为了更好的对Size，BM，OP和Inv的溢价的平均回报做切割，最终的因子构成使用了4排序联合控制四因子，即我们按照NYSE中位数独立将Size分两组，BM分两组，OP分两组，Inv分两组。这些组合的搭配可以创造16个市值权重的投资组合。Size因子SMB是其中8个小市值组合减去8个大市值组合的平均收益率。value因子HML是8个高BM组合减去8个小BM组合的平均收益率。盈利因子，投资因子也同样是8个对应组合减去另8个组合的平均值。
在2*2*2*2排序种，
SMB等权重分配大/小BM，多/少盈利，多/少投资组合种。所以Size因子是对于value，盈利以及投资因子中性的，也就是Size因子是控制了其他三个变量的。同样，HML因子也是控制了Size，OP与Inv因子，所以也是中性的。但是，中性并不意味着因子回报率之间的低相关性。
联合控制意味着2*2*2*2可能在BM，OP，Inv因子的回报率上更好的控制溢价，但是因子暴露对于我们的最终推论很重要。所以多元回归的系数衡量了边际效应，五因子的系数通过2*3与2*2排序得到可能分离了对value，RMW与CMA回报率的暴露，就像2*2*2*2一样有效。
5.因子回报的总结统计
表4展示了对于因子回报率的统计总结。
三种版本的平均SMB因子回报率从0.29%到0.30%每月。SMB的标准差相似，为2.87%-3.13%。相关性也非常接近为0.98，1.高度的县官以及相似的平均值与标准差并不让人惊讶，因为三种因子构成方法重的Size的分位点都是NYSE的中位数。平均的SMB、回报率在0的2.3个标准差之外。
对于HML，RMW，CMA的统计是基于他们如何构建的。2*3与2*2排序是最容易比较的。在只用BM，OP与Inv做两分时，三个因子的标准差很低，因该是因为更好的分散化效果。在2*2排序上，HML，RMW以及CMA包括所有的股票，但是在2*3排序，因子没有使用BM。OP与Inv中间的40%。2*3更关注极端的三因子组合，所以产出更大的HML，RMW以及CMA回报率。比如，在2*3
Size-BM排序种平均HML回报率是0.37%每月，但在2*2中是0.28%。相似的结论也出现在RMW以及CMA因子的回报率中。但是对于平均的HML，RMW以及
CMA的回报率的t检验，2*3与2*2是相似的。这两种排序的因子相关性很高，HML为0.97，RMW为0.96，CMA为0.95.
每个2*2与2*3的排序中因子都控制了Size与另一个变量。2*2*2*2排序控制了所有4个变量。联合控制对于HML影响很小。2*2*2*2排序与2*2和2*3的HML因子相关性非常强，为0.94与0.96。2*2与2*3的HML，都是用了NYSE的BM中位数，几乎有相同的均值以及标准差，而且都是0之外3.2个标准差。
RMW与CMA的2*2*2*2与2*2与2*3排序的相关性低一些，为0.8与0.87，并且联合控制产出有趣的结论，是盈利的溢价是以投资的溢价为代价。2*2*2*2与2*2的RMW有相似的标准差，为1.49%与1.52%每月。但是2*2*2*2排序却有更大的平均数，0.25%每月（t值4.09）和0.17%每月（t值2.79）。CMA的标准差从2*2的1.48降低到控制四变量后的1.29，均值也从0.22%每月（t值3.72）下降到了0.14%（t值2.71）每月。因此，联合控制之后，投资的溢价有了可靠的证据，但是平均溢价比别的2*2*2*2因子溢价要低。
Value，盈利与投资因子是小市值公司与大市值公司的因子平均数。因此，联合控制出现了小市值公司与大市值公司溢价的有趣的变化。2*3与2*2排序确认了价值溢价
