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计算几何之--------最小圆覆盖问题

2012-03-28 09:01阅读：

http://blog.sina.cn/dpool/blog/u/1852044702

今天，zjoi出发日，居然还在做题！
好吧吐槽一下，于是正题。
恩，最小圆覆盖，很经典的问题。题目大概是，平面上n个点，求一个半径最小的圆，能够覆盖所有的点。

算法有点难懂，于是讲讲我的理解。
如果要求一个最小覆盖圆，这个圆至少要由三个点确定。有一种算法就是任意取三个点作圆，然后判断距离圆心最远的点是否在圆内，若在，则完成；若不在则用最远点更新这个圆。这里不仔细介绍，具体见：http://wenku.baidu.com/view/584b6d3e5727a5e9856a610d.html

这里介绍的算法是，先任意选取两个点，以这两个点的连线为直径作圆。再以此判断剩余的点，看它们是否都在圆内（或圆上），如果都在，说明这个圆已经找到。如果没有都在：假设我们用的最开始的两个点为p[1],p[2]，并且找到的第一个不在圆内（或圆上）的点为p[i]，于是我们用这个点p[i]去寻找覆盖p[1]到p[i-1]的最小覆盖圆。
那么，过确定点p[i]的从p[1]到p[i-1]的最小覆盖圆应该如何求呢？
我们先用p[1]和p[i]做圆，再从2到i-1判断是否有点不在这个圆上，如果都在，则说明已经找到覆盖1到i-1的圆。如果没有都在：假设我们找到第一个不在这个圆上的点为p[j]，于是我们用两个已知点p[j]与p[i]去找覆盖1到j-1的最小覆盖圆。
而对于两个已知点p[j]与p[i]求最小覆盖圆，只要从1到j-1中，第k个点求过p[k],p[j],p[i]三个点的圆，再判断k+1到j-1是否都在圆上，若都在，说明找到圆；若有不在的，则再用新的点p[k]更新圆即可。
于是，这个问题
就被转化为若干个子问题来求解了。
由于三个点确定一个圆，我们的过程大致上做的是从没有确定点，到有一个确定点，再到有两个确定点，再到有三个确定点来求圆的工作。
关于正确性的证明以及复杂度的计算这里就不介绍了，可以去看完整的算法介绍：http://wenku.baidu.com/view/162699d63186bceb19e8bbe6.html
恩。关于细节方面。
a.通过三个点如何求圆？
先求叉积。
若叉积为0，即三个点在同一直线，那么找到距离最远的一对点，以它们的连线为直径做圆即可；
若叉积不为0，即三个点不共线，那么就是第二个问题，如何求三角形的外接圆？
b.如何求三角形外接圆？
假设三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)；
设过(x1,y1),(x2,y2)的直线l1方程为Ax+By=C，它的中点为(midx,midy)=((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)，l1中垂线方程为A1x+B1y=C1；则它的中垂线方程中A1=-B=x2-x1，B1=A=y2-y1,C1=-B*midx+A*midy=((x2^2-x1^2)+(y2^2-y1^2))/2；
同理可以知道过(x1,y1),(x3,y3)的直线的中垂线的方程。
于是这两条中垂线的交点就是圆心。
c.如何求两条直线交点？
设两条直线为A1x+B1y=C1和A2x+B2y=C2。
设一个变量det=A1*B2-A2*B1；
如果det=0，说明两直线平行；若不等于0，则求交点：x=(B2*C1 -B1*C2)/det，y=(A1*C2-A2*C1)/det；
d.于是木有了。。
恩。都讲清楚了。于是是代码：
#include<stdio.h>
#include<math.h>
struct TPoint
{
double x,y;
};
TPoint a[1005],d;
double r;
double distance(TPoint p1, TPoint p2) //两点间距离
{
return (sqrt((p1.x-p2.x)*(p1.x -p2.x)+(p1.y-p2.y)*(p1.y-p2.y)));
}
double multiply(TPoint p1, TPoint p2, TPoint p0)
{
return ((p1.x-p0.x)*(p2.y-p0.y)-(p2.x-p0.x)*(p1.y-p0.y));
}
void MiniDiscWith2Point(TPoint p,TPoint q,int n)
{
d.x=(p.x+q.x)/2.0;
d.y=(p.y+q.y)/2.0;
r=distance(p,q)/2;
int k;
double c1,c2,t1,t2,t3;
for(k=1;k<=n;k++)
{
if(distance(d,a[k])<=r)continue;
if(multiply(p,q,a[k])!=0.0)
{
c1=(p.x*p.x+p.y*p.y-q.x*q.x-q.y*q.y)/2.0;
c2=(p.x*p.x+p.y*p.y-a[k].x*a[k].x-a[k].y*a[k].y)/2.0;
d.x=(c1*(p.y-a[k].y)-c2*(p.y-q.y))/((p.x-q.x)*(p.y-a[k].y)-(p.x-a[k].x)*(p.y-q.y));
d.y=(c1*(p.x-a[k].x)-c2*(p.x-q.x))/((p.y-q.y)*(p.x-a[k].x)-(p.y-a[k].y)*(p.x-q.x));
r=distance(d,a[k]);
}
else
{
t1=distance(p,q);
t2=distance(q,a[k]);
t3=distance(p,a[k]);
if(t1>=t2&&t1>=t3)
{d.x=(p.x+q.x)/2.0;d.y=(p.y+q.y)/2.0;r=distance(p,q)/2.0;}
else if(t2>=t1&&t2>=t3)
{d.x=(a[k].x+q.x)/2.0;d.y=(a[k].y+q.y)/2.0;r=distance(a[k],q)/2.0;}
else
{d.x=(a[k].x+p.x)/2.0;d.y=(a[k].y+p.y)/2.0;r=distance(a[k],p)/2.0;}
}
}
}
void MiniDiscWithPoint(TPoint pi,int n)
{
d.x=(pi.x+a[1].x)/2.0;
d.y=(pi.y+a[1].y)/2.0;
r=distance(pi,a[1])/2.0;
int j;
for(j=2;j<=n;j++)
{
if(distance(d,a[j])<=r)continue;
else
{
MiniDiscWith2Point(pi,a[j],j-1);
}
}
}
int main()
{
int i,n;
while(scanf('%d',&n)&&n)
{
for(i=1;i<=n;i++)
{
scanf('%lf %lf',&a[i].x,&a[i].y);
}
if(n==1)
{ printf('%.2lf %.2lf 0.00',a[1].x,a[1].y);continue;}
r=distance(a[1],a[2])/2.0;
d.x=(a[1].x+a[2].x)/2.0;
d.y=(a[1].y+a[2].y)/2.0;
for(i=3;i<=n;i++)
{
if(distance(d,a[i])<=r)continue;
else
MiniDiscWithPoint(a[i],i-1);
}
printf('%.2lf %.2lf %.2lf',d.x,d.y,r);
}
return 0;
}

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