小学数学数与代数 2（吴正宪）
2012-11-26 22:06阅读：
专题讲座
小学数学数与代数 2
吴正宪（北京教科院中心小学数学室主任，特级教师）
张秋爽（北京市顺义区教育研究考试中心教研员，高级教师）
于萍（ 北京小学，高级教师 ）
【课程简介】
本专题围绕小学数学教学中，“数与代数”领域中“式与方程”、“正、反比例”、以及“问题解决”展开探讨。本课程中的内容是根据新课标中的具体要求，围绕一线教师的真实问题进行讲解，并配以案例进行解读和分析，在此基础上对课程学习者提出具体的教学建议。力求帮助课程学习者将课标要求与课程内容相结合，将理念与实践相结合，更好地为广大教师的教学实践提供指导和帮助。本专题主要围绕以下四个一线教师存在疑问的话题展开探讨：
1.
如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡？
2.
如何在正反比例教学中体现函数思想？
3. 如何处理好“问题解决”教学中生活情境具体和数量关系抽象的关系？
4.
如何在教学中凸显问题解决策略？
在每个话题的讲解中除了有对理念的分析和解读外，更有生动而富有代表性的案例说明，课程内容贴近课堂，理论与实践相结合，可借鉴性强。
【学习要求】
针对本专题内容，提出以下学习建议：
1．在课程学习之前，请各位老师首先学习课程标准对相关内容的具体要求，以便提高课程学习效率；
2．请您结合自己的教学实践思考，在“数与代数”领域的教学中，尤其是有关式与方程和问题解决部分，主要存在哪些问题（可以是教师教学中的困惑，也可以是学生学习中的困难）；
3．在课程学习的过程中，主动将理论与实践相结合，回顾自己日常的教学实践的具体做法，充分开展对比与反思，将课程学习与实践反思有机结合，及时总结和发现自己在这方面的经验与不足。
4．在课程学习之后，请您根据“思考与活动”版块中所提出的思考建议展开深入的思考与分析，将课程学习带来的收获转化成具体的教学实践。
问题框架：
1.
如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡？
2.
如何在正反比例教学中体现函数思想？
3. 如何处理好 “ 问题解决 ”
教学中生活情境具体和数量关系抽象的关系？
4.
如何在教学中凸显问题解决的策略？
具体内容：
“数与代数”部分是义务教育阶段数学课程的重要内容。这部分的内容包括数的概念、数的运算、数量的估计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式，函数等。
数的概念是学生认识和理解数学的开始，从自然数逐步扩展到有理数、实数，学生将不断增加对数的理解和运用。数的运算伴随着数的形成与发展不断丰富，从最基本的自然数四则运算，扩展到有理数的运算。伴随着字母的引入，代数式和方程的出现是数及其运算的进一步抽象。本专题中，我们和您交流的内容主要涉及后面两部分，下面我们结合新课标，聚焦几个老师们实践中的问题，进行深入的交流。
一、在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡
1.
方程教学的目标
对式与方程这部分内容，课标有如下具体要求：
1．在具体情境中能用字母表示数
2．结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。
3.
能用方程表示简单情境中的等量关系（如 3x+2 ＝ 5
， 2x-x ＝ 3 ），了解方程的作用。
4．了解等式的性质，能用等式的性质解简单的方程。
在每个学生数学学习的历程中，“字母”
的出现都是一次认识上的飞跃。在“字母表示数”以及“方程”教学中，要肩负着帮助学生从算术思维向代数思维进行过渡。学习“字母表示数”的过程是帮助学生建立数感与符号意识的重要过程，是学习和认识数学的一次飞跃，同时也是学生今后继续学习代数式、整式、分式和根式等一系列概念及相关运算的重要基础，具有非常重要的意义，需要引起高度重视，并贯穿于学习数与代数的始终。
在小学的第二学段
中就安排了“式与方程”的内容，就是要引导学生在具体情境中会用字母表示数；结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示。从第一学段过渡到第二学段，随着学生年龄的增长，思维水平和理解能力也在逐渐提高。这一时期的学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡阶段。在第一学段的基础上，第二学段不仅扩大了数的认识和运算的范围，同时在较为抽象的水平上初步认识代数知识和渗透函数思想。
引入简易方程的价值在于，为学生提供用代数方法解决问题的途径。小学阶段解决问题的基本方式是算术方法。基本的数量关系模型一是求和的关系（部分
+ 部分 = 整体），二是求积的关系（每份数 × 份数 =
总量）。具体的表现为加、减、乘、除的意义。算术方法解决问题基本上是根据加减乘除四则运算的含义，分析问题中的数量关系，列出一个算式。这个算式的基本特征是将已知的数量构成的算术式使其结果等于所求的数量。
例如： 小明原来有一些铅笔，爸爸和妈妈又分别给他买 10 枝新铅笔，这时他一共有 38 枝铅笔，原来小明有几只铅笔？
用算术方法列出的算式是： 38-10
× 2=
而用方程来解要先用字母 x
表示原来铅笔的数量。按照数量关系，可以列出方程： X+10 × 2=38
后者是直接用部分 + 部分
= 总体的思路，未知数 X
和其它已知数一起进行运算。而前者是求和逆运算，即已经和与一个部分，求另一个部分。在解决较为复杂的问题时，方程与算术方法的区别会更为明显。
对于解方程，
《标准》明确指出“用等式的性质解简单的方程”。等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。这正是代数思维与算术思维的基本区别。
开始从算术方法到代数方法可能显得比较繁琐，特别是对于简单的数量关系，用算术方法操作起来更为容易，但在解简单方程时仍倡导老师们关注用等式性质的思路，一方面它体现着代数方法的本质，另一方面也是与第三学段方程学习的重要衔接。
2．从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。
【片段 1 】赵震 ——
《用字母表示数》
赵老师通过“神奇的魔盒”，让学生充分经历输入数与输出数的游戏，发现规律、验证规律、总结规律、概括规律，从“图形
( △ → □ ) ” 到“字母”、从无关系的字母（ a→b ）到揭示规律的字母（ a→a+10
），引导学生产生简明表达规律的内需 —— “用字母表示数”，真正理解字母表示数的价值。
【片段 2 】赵震 ——
《用字母表示数》
对，我也听过 赵老师这节课，唱儿歌 —— 《数青蛙》：
一只青蛙一张嘴，两只眼睛四条腿。
两只青蛙两张嘴，四只眼睛八条腿。
三只青蛙三张嘴，六只眼睛十二条腿。
……
让学生边拍手边有节奏地哼唱，与此同时课件不断显示更多的青蛙，直到多得数不清，这时赵
老师问：还能唱吗？学生感到有困难了，于是教师发给学生每人一个小条，试着写一写。
学生在练习纸上填：
生 1
：无数只青蛙无数张嘴，无数只眼睛无数条腿。
生 2 ： a 只青蛙 b 张嘴， c
只眼睛 d 条腿。
生 3 ： a 只青蛙 a 张嘴， b
只眼睛 c 条腿。
生 4 ： a 只青蛙 a 张嘴， aa
只眼睛 aaaa
条腿。
生 5 ： a 只青蛙 a 张嘴， 2a
只眼睛 4a 条腿。
通过倾听学生的发言与交流，展现了学生不同的结论及不同的思维层次：
例如：生 1
还没有达到“用字母表示数”的水平，停留在用语言来描述数量及关系；
生 2
虽然达到了“用字母表示数”的水平，但没有表示出数量关系；
生 3
走近了“用字母表示数”，有了一定的数量关系，但是不全面；
生 4
走近了“用字母表示数”，明白数量关系，但是表示不准确，有待教师的引导；
生 5
真正走进了“用字母表示数”，既用字母表示出了数，又准确地表示出了数量之间的关系。
赵
老师在课堂上，通过学生喜欢的、生动的“说儿歌”活动，让学生在数的过程中感受到“数”的具体，并由此产生寻求更简洁、更概括的表示方法的心理需求。这为“字母表示数”的引出奠定了积极而充分的情感基础。这个过程既是新知识的学习过程，更是学生由原有的算术思维水平不断向代数思维水平迈进的过程。孩子们在一句句诵读儿歌的过程中，完成了思维水平的提升，完成了从数的具体到字母抽象的过渡。从数字运算到字母运算。在此过程中，教师要紧紧把握好符号意识。
绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。
的确，小学生在相当长的时间里是以算术思维为主的，但伴随着学习的不断深入，从算术思维过渡到代数思维是每一个学生必须面对的。这个飞跃对于大多数学生而言都会存在不同程度的困难，都将是一次挑战。这个过渡是个过程，而且这个过程的长短对不同的学生而言也会存在差异，教师在教学中首先应重视对学生代数思维的培养。应对不同的学生给予不同的关注和辅导，允许一部分学生在经历一段时间的学习和积累渐渐达到要求，完成过渡。与此同时，教师还应着眼于学生的发展，整体把握目标的达成。也就是说，“字母表示数”及“方程”相关内容的学习是在第二学段高年级出现的，但对学生代数思维的培养，不一定也不应该等到这个时候才开始。在前面的很多内容教学中应该有意识地孕伏，让学生有机会在不同内容的学习中“找感觉”，积累经验，不断地为完成好认识上的重要飞跃打基础。
3．在低、中年级孕伏代数思维
这是北京小学杜雪飞老师执教的“找算式中的数朋友”一课。这是二年级“表内除法”单元中的练习课，源于对教材中的一道练习题。
既然学生从算术思维向代数思维过渡需要孕伏，那么这样的孕伏就不能，也不应该仅仅是高年级老师的教学任务。各年段的教师都应该善于捕捉恰当的内容，善于寻找恰当的时机，选择恰当的方式，及时训练代数思维，让学生在活动中有所感，有所悟。本课内容的开发，便抓住了学生认知中的这个困难点，通过一系列活动使之变得形象，易于学生接受。
可以说，在相当长的时间里，对于很多学生而言“ = ”更像一个从左向右的单方向箭头（
），因为算式总是先知道数据和符号，通过运算得出结果。今天这节练习课中，杜老师将为学生们创造“倒着想”的机会，把“逆向”思考作为突破口，让“
=
”在孩子们的头脑中变成“双向”的。这是对等式左右两边“相等”关系的更深入的理解，同时也是孩子们迈向代数思维的重要启蒙。这是教师在低年级教学中为学生长远发展奠定基础的有益尝试。
长期以来，在小学阶段教学简易方程，方程变形即解方程的主要依据是四则运算各部分间的关系。而新课程标准指导下的教材中更强调了“等式性质”的教学，这样设计的意义又是什么呢？
这是一个老师们普遍存在的问题。其实，如果仅以“解方程”为目标的话，也能用四则运算各部分关系及等式性质都是可以的，也就是都能够让学生顺利地找到方程的解，进而解决实际问题。但运用四则运算各部分关系的思路实际上是用算术思路求未知数。这样的教学利用了学生已有的知识，因而易于理解，但是却不易与中学的教学衔接，也不易于学生更好地代数思维的形成。根据《标准》的要求，从小学起就引入等式的基本性质，并以此为基础导出解方程的方法。不仅有利于加强中小学数学教学的衔接，而且有利于学生逻辑思维能力的发展，为今后学生更好地把握方程的实质奠定基础。总的来说，在小学阶段，只要达到能用方程表示简单情境中的等量关系（如
3x+2 ＝ 5 ， 2x-x
