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基本假设
在解释纳维-斯托克斯 方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚 合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时 必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为\Omega，而其表面记为\partial\Omega。该控制 体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。纳维－斯托克斯方程（简称 N-S方程）是非线性的偏微分方程组，再加上在实际流动中，雷诺数的变化范围很大，物面附近流场的变化又很剧烈，因此长期以来，除个别问题外，不能直接求 解。为了解决实际问题，人们着眼于发展一些近似计算方法，奇异摄动理论在这里得到出色的应用。例如，对于小雷诺数绕流，以雷诺数为小参数，将物理量和方程 展开，建立了极慢运动的理论，可求得圆球等很多绕流问题的解答。对于高雷诺数的绕流，以雷诺数平方根的倒数为小参数，可建立边界层理论，并在此基础上求其 问题的解答（见边界层方程数值解法。只是在电子计算机问世以后,N-S方程的求解，才迅速发展起来。
时，对于大多数粘性绕流,相对于物面其流向的粘性项不很重要,因而可把它从N-S方程中略去，使方程简化,这种简化的N-S方程已被成功地应用到各种附体流及分离不很严重的流动，成为数值求解N-S方程的一个重要手段。| 从质量守恒原理、牛顿第二定律及能量守恒原理出发，得到如下流体力学微分形式的基本方程组: |
   在该方程组中独立的未知函数有：  ,  ,  ,  ,  共12个标量，而方程个数只有5个，所以上述方程是不封闭的。需要补充流体的本构方程和热力学状态方程。 |
 对于牛顿流体的运动而言，可以补充牛顿流体的本构方程： |
 则可以得到如下的连续方程、运动方程和能量方程。 |
| 1．连续方程： |
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| 2．运动方程： |
 这是矢量形式的牛顿流体的运动方程，又称Navier－Stokes方程，它适用于任意惯性坐标系，它奠定了粘性流体动力学的基础。各项物理意义为：  ――作用在单位质量流体上的质量力； ――作用在单位质量流体上的压力合力； ――作用在单位质量流体上的粘性体积膨胀力； ――作用在单位质量流体上的粘性变形力。对于不可压缩流体而言，  ，并且一般可认为  ，则上述Navier－Stokes方程可简化为： |
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| 3．能量方程： |
  --表面力在单位时间内对单位质量流体所作的功。上述能量方程经适当改造，可导出以热力学第一定律形式表示出来的能量方程：  以熵的形式表示的粘性牛顿流体的能量方程：  以焓的形式表示的粘性牛顿流体的能量方程：  其中：  ，为耗散函数。 |
纳维-斯托克斯方程 （Navier-Stokes equations），以克劳德-路易·纳维(Claude-Louis Navier)和乔治·盖伯利尔·斯托克斯命名，是一组描述象液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率(加速度)和作用在 液体内部的压力的变化和耗散粘滞力(类似于摩擦力)以及重力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维-斯托克斯方 程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。
他们是最有用的一组方程之一，因为它们描述了大量对学术和经济有用的现象的物理过程。它们可以用于建模天气，洋流，管道中的水流，星系中恒星的运动，翼型周围的气流。它们也可以用于飞行器和车辆的设计，血液循环的研究，电站的设计，污染效应的分析，等等。
纳维-斯托克斯方程依赖微分方程来描述流体的运动。这些方程，和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量（譬如速度和压力）的关系，而是建立这些量的变 化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化率对应于变量的导数。这样，最简单情况的0粘滞度的理想流体的纳维-斯托克斯方程表明加速度（速度的导 数，或者说变化率）是和内部压力的导数成正比的。
这表示对于给定的物理问题的纳维-斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。实用上，只有最简单的情况才能用这种方法解答，而它们的确切答案是已知的。这些情况通常设计稳定态（流场不随时间变化）的非湍流，其中流体的粘滞系数很大或者其速度很小（小的雷诺数）。
对于更复杂的情形，例如厄尔尼诺这样的全球性气象系统或机翼的升力，纳维-斯托克斯方程的解必须借助计算机。这本身是一个科学领域，称为计算流体力学。
（1）基本假设
在解释纳维-斯托克斯方程的细节之前，首先，必须对流体作几个假设。第一个是流体是连续的。这强调它不包含形成内部的空隙，例如，溶解的气体的气泡，而且它不包含雾状粒子的聚合。另一个必要的假设是所有涉及到的场，全部是可微的，例如压强，速度，密度，温度，等等。
该方程从质量，动量，和能量的守恒的基本原理导出。对此，有时必须考虑一个有限的任意体积，称为控制体积，在其上这些原理很容易应用。该有限体积记为Ω，而其表面记为ƏΩ。该控制体积可以在空间中固定，也可能随着流体运动。这会导致一些特殊的结果，我们将在下节看到。
克劳德.路易.纳维尔 （Claude Louis Navier，1785年2月10日－1836年8月21日）是法国工程师和物理学家，特别对力学理论有很大贡献。流体力学中的纳维尔.斯托克斯 （Navier-Stokes）方程，简写为N-S方程，就用他和斯托克斯的名字命名的。1793年，纳维尔的父亲去世后，他的妈妈就把他的教育委托给他 在法国道桥公司担任工程师的叔叔埃米兰.高特（Emiland Gothey）。1802年，纳维尔考入伊克莱理工学院（École polytechnique）。1804年，纳维尔转入法国国立道桥学院（École Nationale des Ponts et Chaussées）继续大学学业。1806年，纳维尔在国立道桥学院毕业。最后，他接替叔叔的职位担任了法国道桥公司的总监，负责建设了 舒瓦西（choisy）的大桥和巴黎的一座步行桥。1824年，纳维尔进入法国科学院。1830年，纳维尔成为法国国立道桥学院的教授。第二年接替奥古斯 汀.路易.柯西，成为伊克莱理工学院“微积分与力学”教授。纳维尔首次建立了可以用于工程实际的弹性理论的数学表达形式，第一次将这套理论用于建筑并达到 足够的精度。1819年，纳维尔定义了应力零线，并最终修正了伽利略的错误结果。1826年，他提出弹性模量概念，并将它当作独立于二阶面矩的材料性质。 由于这些贡献，纳维尔通常被认为是现代结构分析的奠基人。纳维尔的最大贡献当然还是N-S方程，流体力学的基本方程。
斯托克斯，Ｇ。 Ｇ（George Gabriel stokes1819~1903）英国力学家、数学家。1819年8月13日生于斯克林，1903年2月1日卒于剑桥。斯托克斯1849年起在剑桥大学任 卢卡斯座教授，1851年当选皇家学会会员，1854年起任学会书记，30年后被选为皇家学会会长。斯托克斯为继Ｉ.牛顿之后任卢卡斯座教授、皇家学会书 记、皇家学会会长这三项职务的第二个人。斯托克斯的主要贡献是对粘性流体运动规律的研究。Ｃ．－Ｌ．－Ｍ．－Ｈ．纳维从分子假设出发，将Ｌ．欧拉关于流体 运动方程推广，1821年获得带有一个反映粘性的常数的运动方程。1845年斯托克斯从改用连续系统的力学模型和牛顿关于粘性流体的物理规律出发，在《论 运动中流体的内摩擦理论和弹性体平衡和运动的理论》中给出粘性流体运动的基本方程组，其中含有两个常数，这组方程后称纳维-斯托克斯方程，它是流体力学中 最基本的方程组。1851年，斯托克斯在《流体内摩擦对摆运动的影响》的研究报告中提出球体在粘性流体中作较慢运动时受到的阻力的计算公式，指明阻力与流 速和粘滞系数成比例，这是关于阻力的斯托斯公式。斯托克斯发现流体表面波的非线性特征，其波速依赖于波幅，并首次用摄动方法处理了非线性波问题 （1847）。斯托克斯对弹性力学也有研究，他指出各向同性弹性体中存在两种基本抗力，即体积压缩的抗力和对剪切的抗力，明确引入压缩刚度的剪切刚度 （1845），证明弹性纵波是无旋容胀波，弹性横波是等容畸变波（1849）。斯托克斯在数学方面以场论中关于线积分和面积分之间的一个转换公式（斯托克 斯公式）而闻名。
斯托克斯公式是牛顿微积分公式的推广，大意就是说，在一个几何区域上求积分的问题可以转化到在该区域的边界上求积分。其哲学思想是， 边界的信息决定了区域内部的性状。
比如在我们平时说的一元微积分里面， 求积分的区域通常是一个闭区间， 它的边界就是两个端点。牛顿公式就是把区间上的求积问题转化为求被积函数在该区间两个端点上的值（也可以看成端点上的积分）。
楼上说的是曲面情形， 更一般的可以推广到任何n维流形上，这里就不讲了。