一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形吗？
2013-10-13 09:52阅读：
有人“证明”了这样的四边形是平行四边形：
如图1，在平行四边形ABCD中，AB=CD，∠B=∠D，过A、C分别作对边BC、AD的垂线AE、CF，则△ABE≡△CDF，所以AE=CF。
在Rt△AEC和Rt△CFA中，AE=CF，AC=AC，
所以△AEC≡△CFA，所以∠ECA=∠FAC，故AD∥BC。
又∠B和∠BAD是平行线AD、BC的一组同旁内角，
所以∠B+∠BAD=180°。
又因为∠B=∠D，所以∠D+∠BAD=180°，
故AB∥DC，因此四边形ABCD为平行四边形。
这个“证明”乍看起来似乎无懈可击。不过，证明者犯了一个很大的错误，即用满足命题条件和结论的一种特殊图形，代替了适合命题条件的一般四边形。
我们能找出一个反例吗？
假定图2中的四边形ABCD就是一个反例，其中∠B=∠D，AB=CD，但ABCD不是平行四边形，我们来看看这个四边形应具有什么性质。
连接AC，在△ACD和△CAB中，CD=AB,CA=CA,∠B=∠D。因此这样的反例能否找到，归结为能否找到满足下列两个条件的△ACD、△CAB：①两边及其中一边对角对应相等，但两个三角形不全等；②∠DAC+∠CAB＜180°，这样的两个三角形是可以找到的。
如图3，画一个正△ABE，在BE上取一点C，使BC≠CE，连接AC，得到的△CAB、△ACE就是符合条件的两个三角形，分别以A、C为圆心，CE、AB为半径画弧交于D，连接CD。由于△CAD≡△ACE，CD=AE=AB，∠CDA=∠AEC=∠B，并且∠DAC+∠CAB=∠ECA+∠CAB＜120°+60°=180°。可见，四边形ABCD是有一组对边相等且一组对角相等的四边形，但它不是平行四边形。
实际上，我们从图3中可以看出，四边形ABCD满足原命题条件，但由于E在BC的延长线上，因此使得前面的“证明”无效。
