【
重点与难点分析】
本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质(定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性).正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛,函数的图像和性质是应用的重要基础,也是解决三角函数的综合问题的基础,它能较好的综合三角变换的所有内容,可进一步深入研究其它函数的相关性质.函数图像可以直观的反映函数的性质,因此首先要掌握好函数图像形状特点,使学生将数、形结合对照掌握这两个函数.
本节难点是利用正弦线画出函数
的图像,利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线,周期函数与最小正周期意义的理解.利用几何法画函数图像学生第一次接触,要先复习正弦线的做法,另外注意讲清正弦线平移后在x轴上对应的角.通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系,利用诱导公式时先将
为了只需要平移就可得到余弦函数.周期函数包含的内容较多,可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解,再通过定义严格说明,定义中
的任意性可与奇偶性的定义对比讲解,周期、最小正周期的概念很抽象,学生理解有些困难,最好将定义分解讲解.
【
教法建议】
1.讲三角函数图象时,由于描点法学生比较熟悉,可以先让学生自己作图,然后介绍几何法,这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解,为后面“五点法”作图奠定基础,又可将两种方法加以对比.
2.用几何法作函数
的图像前,首先复习函数线的作法,说明单位圆上的角与x轴上数值的对应关系,作图过程要力求准确,以便学生正确认识曲线的建立过程.此处最好借助多媒体课件演示,表现的既准确又节省时间.得到函数
的图像,利用诱导公式或利用三角函数线,把图象沿着 轴向右和向左连续地平行移动,每次移动的距离为2π(即一个最小正周期),即可得到函数
的图像.余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系,但要将x前面的系数保证为正,这样只需要平移即可得到余弦函数的图像.余弦函数的图像的几何作法可让学生课后自己去探索.
3.“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛,让学生观察函数 的图像,有五个点在确定图象形状时起着关键的作用,即最高点,最低点以及与
轴的交点,因为只要这五个点描出后,图象的形状就基本确定了.因此在精确度要求不太高时,常采用先描出这五个点来作函数简图的方法.适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法.
4.对于函数的周期性,先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点,让学生对周期有直观的认识,周期函数的定义也可叙述为:当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函数值就重复出现时,这个函数就叫做周期函数.然后再给出严格定义.将定义的分解讲解,使学生理解定义包含的要素,关键词语,如“如果存在”说明不是所有函数都有周期,“T”要满足“非零”和“常数”两个条件,当
取定义域内的每一个值时”这一提法,这里要特别注意“每一个值”四个字.如果函数 不是当 取定义域内的“每一个值”时,都有 ,那么T就不是
的周期.例如 ,但是 ,就是说 不能对于 在定义域内的每一个值都有 ,因此 不是
的周期.最小正周期可让学生按上述分析方法进行分析.另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解,对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的:
如果函数f(x)对于定义域里的每一个值,都有
(1) ,那么 叫做偶函数；
(2) ,那么 叫做奇函数；
(3) ,其中T是不为零的常数,那么 叫做周期函数.
对 函数的周期,要让学生从周期定义上理解:周期是指能使函数值重复出现的自变量 要加上的那个数,这个数是针对 而言的,如果对
而言,而每增加2π, 的值就重复出现；但对自变量 而言,每增加π, 的值就能重复出现,因此
的周期是π.如果不设辅助未知数,本例的解答可写为:
,
即 中的 以 +π代替,函数值不变,所以 的周期为π.由此可知,三角函数的周期与自变量 的系数有关.
5.让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等,最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出,使学生在函数图像和性质建立对应关系,这对学生进一步掌握函数
的性质有很大帮助.因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线.
6.要注意数学语言和数学方法的训练,如“必须并且只需”,正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数,其值从-1增大到1等.
教学设计示例
4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质(第一课时)
一、教学具准备
直尺、圆规、投影仪.
二、教学目标
1.了解作正、余弦函数图像的四种常见方法.
2.掌握五点作图法,并会用此方法作出 上的正弦曲线、余弦曲线.
3.会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像.
三、教学过程(可用课件辅助教学)
1.设置情境
引进弧度制以后, 就可以看做是定义域为
的实变量函数.作为函数,我们首先要关注其图像特征.本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法.
2.探索研究
(1)复习正弦线、余弦线的概念
前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法,请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？(师画图1)
设任意角 的终边与单位圆相交于点 ,过点作 轴的
垂线,垂足为 ,则有向线段 叫做角 的正弦线,有向线段
叫做角 的余弦线.
(2)在直角坐标系中如何作点 由单位圆中的正弦线
知识,我们只要已知一个角 的大小,就能用几何方法作出对应的
正弦值 的大小来,请同学们思考一下,如何用几何方法在直
角坐标系中作出点 ？
教师引导学生用图2的方法画出点 .
我们能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数 的图像呢？
图2
①用几何方法作 的图像
我们知道,作函数的图像的步骤是:列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标,就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确,使得描点后画出的图像误差也大,为克服这一不足,我们用前面作点
的几何方法来描点,从而使图像的精确度有了提高.
(边画图边讲解),我们先作 在 上的图像,具体分为如下五个步骤:
a.作直角坐标系,并在直角坐标系中 轴左侧画单位圆.
b.把单位圆分成12等份(等份越多,画出的图像越精确).过单位圆上的各分点作 轴的垂线,可
以得到对应于0, , , ,…, 角的正弦线.
c.找横坐标:把 轴上从0到 这一段分成12等分.
d.找纵坐标:将正弦线对应平移,即可指出相应12个点.
e.连线:用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来,即得 的图像.
②作正弦曲线的 图像.
图为终边相同的角的三角函数值相等,所以函数 且 的图像与函数 的图像的形状完全一样,只是位置不同,于是我们只要将函数
的图像向左、右平移(每次 个单位长度),就可以得到正弦函数数 的图像,如图.
正弦函数 的图像叫做正弦曲线.
③五点法作 的简图
师:在作正弦函数 的图像时,我们描述了12个点,但其中起关键作用的是函数 与
轴的交点及最高点和最低点这五个点,你能依次它们的坐标吗？
生:
师:事实上,只要指出这五个点,
的图像的形状就基本确定了,以后我们常先找出这五个关键点,然后用光滑的曲线将它们连结起来,就得到函数的简图,这种作图的方法称为“五点法”作图.
④用变换法作余弦函数 的图像
因为 ,所以 与 是同一个函数,即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移
个长度单位角得到,余弦函数的图像叫做余弦曲线,如图,
师:请同学们说出在函数 的图像上,起关键作用的五个点的坐标.
生:
3.例题分析
例1．画出下列函数的简图:
(1) ； (2) .
解:(1)按五个关键点列表
利用五点法作出简图
师:请说出函数 与 的图像之间有何联系？
生:函数 的图像可由 的图像向上平移1个单位得到.
(2)按五个关键点列表
利用五点法作出简图
师: 与 的图像有何联系？
生:它们的图像关于 轴对称.
练习:
(1)说出 的单调区间； (2)说出 的奇偶性.
参考答案:
(1)由 图像知 为单调递增区间, 为单调递减区间
(2)由 图像知 是偶函数.
4.总结提炼
(1)本课介绍了四种作 图像的方法,其中五点作图法最常用,要牢记五个关键点的选取特点.
(2)用平移诱变法,由 这不是新问题,在函数一章学习平移作图时,就使用过,请同学们作比较.应该说明的是由
平移量是不惟一的,方向也可左可右.
5.演练反馈,(投影)
(1)在同一直角坐标系下,用五点法分别作出下列函数的图像
① ②
(2)观察正弦曲线和余弦曲线,写出满足下列条件的 的区间.
① , ② , ③ , ④
(3)画出下列函数的简图
①
②
③
参考答案:
(1)
(2)
① ,
② ,
③
④
(3)
①
②
③
五、板书设计
课题
1.正、余弦函数线
2.作点
3.作 的图像
4.五点法作正弦函数图像
|
5.变换法作 的图像
6.五点法作余弦函数图像
7.例题
(1)
(2)
演练反馈
|
总结提炼
|
教学设计示例
4.8
正弦函数、余弦函数的图像和性质(第二课时)
一、教学具准备
直尺,投影仪.
二、教学目标
1.掌握 的定义域、值域、最值、单调区间.
2.会求含有 、 的三角式的定义域.
三、教学过程
1.设置情境
研究函数就是要讨论一些性质,
是函数,我们当然也要探讨它的一些属性.本节课,我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质.
2.探索研究
师:同学们回想一下,研究一个函数常要研究它的哪些性质？
生:定义域、值域,单调性、奇偶性、等等.
师:很好,今天我们就来探索 两条最基本的性质——定义域、值域.(板书课题正、余弦函数的定义域、值域.)
师:请同学看投影,大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像.
师:请同学思考以下几个问题:
(1)正弦、余弦函数的定义域是什么？
(2)正弦、余弦函数的值域是什么？
(3)他们最值情况如何？
(4)他们的正负值区间如何分？
(5) 的解集如何？
师生一起归纳得出:
(1)正弦函数、余弦函数的定义域都是 .
(2)正弦函数、余弦函数的值域都是 ，即 称为正弦函数、余弦函数的有界性.
(3)取最大值、最小值情况:
正弦函数 ,当 时,函数值 取最大值1,当 时,函数值 取最小值－1.
余弦函数 ,当 时,函数值 取最大值1,当 时,函数值 取最小值－1.
(4)正负值区间:
(5)零点:
3.例题分析
例1.求下列函数的定义域、值域:
(1) ； (2) ； (3) .
解:(1) ,
(2)由 ,则定义域为:
又∵ , ∴ .
∴定义域为 ,值域为 .
(3)由 , 又由
∴
∴定义域为 ,值域为 .
指出:求值域应注意用到 或 有界性的条件.
例2.求下列函数的最大值,并求出最大值时 的集合:
(1) ； (2) ； (3) (4) .
解:(1)当 , 即 时, 取得最大值
∴函数的最大值为2,取最大值时 的集合为 .
(2)当 时,即 时, 取得最大值 .
∴函数的最大值为1,取最大值时 的集合为 .
(3)若 , 此时函数为常数函数.
若 时, ∴ 时,即 时,函数取最大值 ,
∴ 时函数的最大值为 , 取最大值时 的集合为 .
(4)若 , 则当 时, 函数取得最大值 .
若 , 则 , 此时函数为常数函数.
若 , 当 时, 函数取得最大值 .
∴当 时,函数取得最大值 ,取得最大值时 的集合为 ；
当 时,函数取得最大值 ,取得最大值时 的集合为 ;
当 时,函数无最大值.
指出:对于含参数的最大值或最小值问题,要对 或 的系数进行讨论.
思考:此例若改为求最小值,结果如何？
例3.要使下列各式有意义应满足什么条件？
(1) ； (2) .
解:(1)由 ,
∴当 时,式子有意义.
(2)由 ,
∴当 时, 式子有意义.
4.演练反馈(投影)
(1)函数 的简图是(
)
(2)函数 的最大值和最小值分别为(
)
A.2,－2
B.4,0
C.2,0
D.4,－4
(3)函数 的最小值是(
)
A.
B.－2
C.
D
