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凝聚态物理中的拓扑基础二--不考虑自旋时的时间反演对称作者：张迎涛(河北师范大学)

2019-05-20 08:19阅读：

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凝聚态物理中的拓扑基础二 -- 不考虑自旋时的时间反演对称
作者：张迎涛 (河北师范大学)

所谓的时间反演对称乃是指运动的可逆性，即把一个过程用摄像机拍下来，然后把胶卷倒过来放映，假如看上去运动规律（当然不是指“现象”）与顺放时一样，就叫做“时间反演守恒”。我们可以先从经典力学讲起时间反演对称，我们知道经典力学的基本运动定律是牛顿第二定律，即：


1542244244486956.png
如果我们令 1542244280548931.png ,那么


1542244292232977.png

我们令 1542244307271419.png 。因为运动方程是关于时间的二阶导数，所以在此变换下不变，因此 1542244324298075.png 与 1542244336275853.png 满足相同的运动方程，我们称系统具有时间反演对称性。


1932年，Wigner在量子力学中引进了时间反演。不过因为量子力学中涉及了复数与 Hilbert 空间, 让一切都变得复杂了起来.我们在下面来看一下一个无自旋的薛定谔方程：


微信截图_20181219171242.png.
同经典力学中的方式类似，在量子力学中，其实我们是要找一个时间反演态 1542244390600743.png与 1542244404745472.png 满足相同的Schrodinger方程。在这里我们假设 1542244454870171.png是不显含时的哈密顿，如果我们换照上面的定义，对上式进行时间反演，即作变换 1542244280548931.png ,
微信截图_20181219171827.png
因为方程的左边是对时间的一阶微商而非二阶，而 1542244454870171.png是不含时的哈密顿，因此变换后的薛定谔方程显然与原来的形式不同。但如果我们对整个方程取一次复共轭运算，
1545211007849739.png
我们会发现此时的方程与前面的方程都符合薛定谔方程，意味着上式是“时间反演不变”的薛定谔方程。这意味着（η是一个相位因子）
微信截图_20181219172033.png
为 1542244404745472.png的时间反演态， 1542244565758579.png称之为时间反演算符。这一过程称之为时间反演变换。
很显然
1542244582814257.png
1542244595377192.png
1542244607569541.png
实际上看到这里可发现时间反演算符的作用是：（1）将时间变量 1542244626834555.png 改为了 1542244640926769.png；（2）取复共轭。我们下面考查动量算符 1542244656925911.png的时间反演，例如取任意波函数 1542244404745472.png ,有


凝聚态物理中的拓扑基础二--不考虑自旋时的时间反演对称作者：张迎涛(河北师范大学)
因此


1542244709995086.png
进一步，如果无自旋系统的哈密顿 1542244454870171.png 不显含时间，又是动量 1542244656925911.png 二次式，则有+


1542244762101141.png


这时我们说这个系统（及其哈密顿量）具有时间反演不变性或时间反演对称性。


那么时间反演算法有什么性质，这里我们着重几个重要的


1. 时间反演算符 1542244565758579.png 不是线性算符;


虽然 1542244798904693.png ，但是 1542244812714602.png
所以时间反演算符不是线性算符，但满足上述条件的算符也称之为反线性算符;


2. 时间反演算符不是厄米算符


这个好像也不用证明


3. 因为时间反演算符不是厄米算符，因此没有物理量与之对应（本征值不能保证是实数）;
4. 因为Bloch态的波函数都是正比于 1542244833684602.png 的，显然时间反演算符可以将wave vector 变为 1542244864406598.png;


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