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4.5 浮点运算及运算器
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第4章 运算方法与运算器
4.3 定点数除法运算及实现

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第4章 运算方法与运算器
一、原码除法算法

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第4章 运算方法与运算器
1、手工除法算法
  • X=+0.1011，Y=-0.1101
  • X÷Y

  • 改进手工算法即可适合机器运算：
    • 计算机通过做减法测试来实现判断：结果大于等于0，表明够减，商1；结果小于0，表明不够减，商0。
    • 计算机将余数左移一位，再直接与不右移的除数相减。

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第4章 运算方法与运算器
2、原码恢复余数算法
  • 假设[X]原=XS .X1 X2 ……Xn ，[Y]原=YS .Y1 Y2 ……Yn ，Q是X÷Y的商，QS是商的符号，R是X÷Y的余数，RS是余数的符号
  • 原码除法运算的规则是：
    • 1.QS = XS ⊕YS ，RS = XS，|Q| = |X|÷|Y|-|R|÷|Y|
    • 2.余数和被除数、除数均采用双符号位；初始余数为|X|。
    • 3.每次用余数减去|Y|（通过加上[-|Y|]补来实现），若结果的符号位为0，则够减，上商1，余数左移一位；若结果的符号位为1，则不够减，上商0，先加|Y|恢复余数，然后余数左移一位。
    • 4.循环操作步骤3，共做n+1次，最后一次不左移，但若最后一次上商0，则必须+|Y|恢复余数；若为定点小数除法，余数则为最后计算得到的余数右移n位的值。

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第4章 运算方法与运算器
例如： X=+0.1011，
Y= - 0.1101
用原码恢复余数算法计算X÷Y。
解：[X]原=0.1011
[Y]原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101
[-|Y|]补=11.0011
QS = XS ⊕YS = 1 RS = 0
得[Q]原=1.1101
[R]原=0.00000111
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第4章 运算方法与运算器
3、原码不恢复余数算法
  • 又称为加减交替法：当某一次求得的差值（余数Ri)为负时，不是恢复它，而是继续求下一位商，但用加上除数（+|Y|）的办法来取代（-|Y|）操作，其他操作不变。
  • 其原理证明如下：（注：其证明须借用 恢复余数法 的原理，如下所示：）
    • 在恢复余数除法中，若第i-1次求商的余数为Ri-1，下一次求商的余数为Ri，则：Ri=2Ri-1－|Y|
    • 如果Ri>=0，商的第i位上1，并执行操作：余数左移一位，再减|Y|，得Ri+1，则：Ri＋1=2Ri－|Y|（注：乘以2代表余数左移一位）
    • 如果Ri<0，商的第i位上0，并执行操作：恢复余数（+|Y|），将余数左移一位，再减|Y|，得Ri+1。其过程可用公式表示如下：
Ri+1=2（Ri+|Y|）－|Y|=2Ri+2|Y|－|Y|=2Ri+|Y|（乘以2原因同上）
红色字体的式子就是我们想要的结论：即 加减交替法 的理论依据。这些显然是建立在恢复余数法的理论基础上的。
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第4章 运算方法与运算器
3、原码不恢复余数算法
  • 加减交替法的规则如下：
    • 余数为正时，商上1，求下一位商的办法，是余数左移一位，再减去除数；
    • 当余数为负时，商上0，求下一位商的办法，是余数左移一位，再加上除数。
    • 若最后一次上商为0，而又需得到正确余数，则在这最后一次仍需恢复余数。

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第4章 运算方法与运算器
例如：X=+0.1011， Y=-0.1101，用原码不恢复余数算法计算X÷Y。
解：[X]原=0.1011 [Y]原=1.1101 |X|=0.1011 |Y|=0.1101
[-|Y|]补=11.0011
QS = XS ⊕YS = 1 RS = 0
[Q]原=1.1101
[R]原=0.00000111
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第4章 运算方法与运算器
二、原码除法的硬件实现
控制电路逻辑
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第4章 运算方法与运算器
原码不恢复余数除法流程
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第4章 运算方法与运算器
三、阵列除法器
  • 被除数X=X1 X2 X3 X4 X5 X6，除数Ｙ=Ｙ1Ｙ2Ｙ3得到的商Q=Q1Q2Q3（Q0=0），R= R4 R5 R6。
  • 若为定点小数，则X=0.X1 X2 X3 X4

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